2018版高中数学（人教a版）必修5同步教师用书：必修5 第1章 章末分层突破

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1、章末分层突破[自我校对]①＝＝②已知两角和其中一边③c2＝a2＋b2－2abcosC④已知三边⑤S＝acsinB　利用正、余弦定理求解三角形的基本问题解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对

2、角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.【精彩点拨】　(1)用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系，然后利用余弦定理求解．(2)先求角C，然后利用正弦定理求边a，c.【规范解答】　(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.故a＝b×＝1＋.由已知得，C＝180

3、°－45°－75°＝60°，c＝b×＝.[再练一题]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求A和tanB的值.【解】　由余弦定理cosA＝＝，因此A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.由已知条件，应用正弦定理＋＝＝＝＝＝＋，从而tanB＝.正、余弦定理的综合应用正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直

4、、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．【精彩点拨】　(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公理求解．【规范解答】　(1)由·＝2得c·acosB＝2.又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又

5、b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.解得或因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.[再练一题]2．如图11，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．图11【解】　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝

6、×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．图12　如图12所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测

7、量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5km.(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1km)(参考数据：＝1.73，sin75°＝0.97，cos75°＝0.26，tan75°＝3.73，sin53°＝0.80，cos53