小学六年级数学第讲：工程问题（教师版）

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1、第十八讲工程问题工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分之一表示成。工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。但在不引起误会的情况下，一般不写工作

2、效率的单位。工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。在解题时，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。由于工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者间关系的问题。因此我们

3、就要从题目中发掘出三者之中的两者，特别是找出工作效率，这往往是解题的关键，也是本讲的重点内容。例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现领工资共180元，按工作量分配，甲、乙、丙应各领多少元？　　　　思路剖析　　此题看上去有点复杂，其实问题的关键在于求出甲、乙、丙三个各自的工作效率。　　由已知条件，甲、乙合作6天完成了，故可求出甲、乙两人的工作效率和，即，同样可求出乙、丙两人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和。从而可求出甲、乙、丙三人各自的工作效率，进而根据他们各自完成的工

4、作天数（即工作量）求出他们应领到的工资。　　　　解答　　因为甲、乙合修了6天完成工作的，所以甲、乙两人的工作效率和为。　　剩下的工作量为，剩下工作量的为，由乙、丙两天完成，所以乙、丙的工作效率和为。　　最后剩下的工作量为，由甲、乙、丙三人5天完成，所以甲、乙、丙三个的工作效率和为。因此，甲的工作效率为。　　因此，甲的工作效率为，丙的工作效率为，乙的工作效率为。进而，甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，丙完成的工作量为。　　所以，甲应领工资，乙应领工资，丙应领工资例2：一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现由甲、乙、丙三个合作完

5、成此工程。在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。问这项工程前后一共用了多少天？　　　　思路剖析　　本题实际上是求丙一共工作了天数，解题的关键在于怎样处理三个人工作时间不一致的问题。我们可进行如下处理：以丙的工作天数为所求，把甲、乙两人看作未休息，在工作总量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量，这样就可以看作三个人的工作时间相同，即丙的工作时间，从而求出这个数。　　　　解答　　把这项工程看作“1”，指甲休息2天，乙休息3天的工作量加在总工作量上，看成三人的工作时间与丙相同。　　答：完成这项工程前后一共用了17天。例3：一项工程，

6、乙队先单独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工程甲队又独做9天才全部完成。已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍。甲、乙、丙三队独做，各需要多少天完成？　　　　思路剖析　　已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，按“甲、乙、丙三队共同完成一项工程”为等量关系列方程分别求出甲、乙、丙各完成全部工程的几分之几。然后用甲、乙、丙完成任务的几分之几：即甲、乙、丙各自的工作量，分别除以各自的工作时间，就可得到他们各自的工作效率，进而求出甲、乙、丙三队独做各需要多少天。　　　　解答　　设甲队完成了x，则乙队完成了，丙队完成了。　　　　因

7、此，甲队独做时间为：，乙单独做时间为：，丙队独做时间为：。　　答：甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天。例4：一个水池装了一根进水管和3根粗细相同的出水管。单开一根进水管20分钟可将水池注满，单开一根出水管45分钟可将水池的水放完。现在水池中有池水，4根水管一起打开，多少分钟后水池的水还剩下？　　　　思路剖析　　由题目条件知，水池原有水，减至，所以水池的水减少了，因此我们要从“放水”这个角度来考虑问题。由于既有进水，又有出水，所以放水的工作效率应为放水效率与进水效率的差。　　　　解答　　因为一根进水管20分钟可将水池注满，所以它的进水效率为。一根出水管45

8、分钟可将水池水放完。所以一根出水管放水