高中数学【配套word版文档】五.5.1平面向量的概念及线性运算

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1、§5.1　平面向量的概念及线性运算2014高考会这样考　1.考查平面向量的概念、线性运算；2.考查向量运算的几何意义，向量共线的应用．复习备考要这样做　1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义；2.理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系．1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或

2、共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ>0时，

9、λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.[难点正本　疑点清源]1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．3．证明三点共线问题，

10、可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．1．若a＝“向东走8km”，b＝“向北走8km”，则

11、a＋b

12、＝________；a＋b的方向是________．答案　8　东北方向解析　根据向量加法的几何意义，

13、a＋b

14、表示以8km为边长的正方形的对角线长，∴

15、a＋b

16、＝8，a＋b的方向是东北方向．2.如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝________

17、____.答案　b－a解析　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.3．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．答案　－2解析　如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.4．若ABCD是正方形，E是DC的中点，且＝a，＝b，则＝____________.答案　b－a解析　如图，取AB的中点F，连结FE，则＝b，＝a，则＝－＝b－a.5．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同

18、一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是________．答案　①②③解析　①错，如单位向量与0不相等；②错，如方向相同，长度不等的向量；③错，如都平行于零向量，则不一定共线．④对．题型一　平面向量的概念辨析例1　给出下列命题：①若

19、a

20、＝

21、b

22、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

23、a

24、＝

25、b

26、且a∥b.其中正确命题的序号是________．答案　②③解析　①不正确．

27、两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴

28、

29、＝

30、

31、且∥，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且

32、

33、＝

34、

35、，因此，＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使

36、a

37、＝

38、b

39、，也不能得到a＝b，故“

40、a

41、＝

42、b

43、且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③

44、.探究提高　(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．下列命题中正确的是________．(填序号)①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点；③向