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《5.1+平面向量的概念及其线性运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、要点梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的（或模）.(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的.(3)单位向量：长度等于的向量.第五编平面向量§5.1平面向量的概念及其线性运算大小方向长度长度为0任意1个单位基础知识自主学习(4)平行向量：方向或的向量.平行向量又叫，任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定：0与任一向量.(5)相等向量：长度且方向的向量.(6)相反向量：长度且方向的向量.相同相反非零共线向量平行相等相同相等相同2.向量的加法和减法（1）加法①法则：服从三角形法则、平行四边形法则.②运算性质：a+b=(交换律）；(a
2、+b)+c=（结合律）；a+0==.(2)减法①减法与加法互为逆运算；②法则：服从三角形法则.b+aa+(b+c)0+aa3.实数与向量的积（1）长度与方向规定如下：①
3、a
4、=;②当时，a与a的方向相同；当时，a与a的方向相反；当=0时，a=.(2)运算律：设、μ∈R，则：①(μa)=;②(+μ)a=;③(a+b)=.
5、
6、
7、a
8、＞0＜00(μ)aa+μaa+b4.两个向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是.有且只有一个实数，使得b=a基础自测1.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A.B.C.D.=0解析A显然正确，由平行四边形法则知B正确.
9、，故C错误.D中=0.C2.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（）A.B.C.D.解析∵D是AB的中点，∴A3.（2009·北京理，2）已知向量a、b不共线，c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d，那么（）A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向解析∵c∥d,∴c=d,即ka+b=(a-b).又a、b不共线，k=,=-1,1=-,k=-1.∴∴c=-d,∴c与d反向.∴D4.下列各命题中，真命题的个数为（）①若
10、a
11、=
12、b
13、，则a=b或a=-b；②若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；③
14、若a=b,b=c，则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.4B.3C.2D.1解析①由
15、a
16、=
17、b
18、可知向量a,b模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形ABCD中，
19、
20、=
21、
22、，但与既不相等也不互为相反向量，故此命题错误.②由可得
23、
24、=
25、
26、且∥，由于∥可能是A，B，C，D在同一条直线上，故此命题不正确.③正确.④不正确.当b=0时，a∥c不一定成立.答案D5.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形解析由已知得=-8a-2b，故，由共线向量知识知AD∥BC，且
27、AD
28、=
29、2
30、BC
31、，故四边形ABCD为梯形，所以选A.A题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）题型分类深度剖析A.2B.3C.4D.5熟练掌握向量的有关概念并进行判断.解析①中，∵向量与互为相反向量，∴它们的长度相等，∴此命题正确.②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同
32、或相反，∴此命题错误.③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确.④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误.思维启迪⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若与是共线向量，则A、B、C、D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误.⑥∵零向量不能看作是有向线段，∴该命题错误.答案C（1）本题涉及的主要内容有向量的概念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量.（2）搞清楚向量的含义.向量不同于我们以前学习过的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方向的
33、量.探究提高知能迁移1下列结论中，不正确的是（）A.向量，共线与向量∥同义B.若向量∥，则向量与共线C.若向量=，则向量=D.只要向量a，b满足
34、a
35、=
36、b
37、，就有a=b解析根据平行向量（或共线向量）定义知A、B均正确；根据向量相等的概念知C正确；D不正确.D题型二平面向量的线性运算【例2】在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB=2GE，设=a，=b，试用a、b表示，.结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.解思维启迪ab（1）解题的关键在于搞清构成三角形的三个
