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1、第1&卷第#期#%%F年#月物理学报Q.601&,P.0#,RST+:5+U,#%%F!%%%3$#F%G#%%FG1(&%#)G%(FF3%AHIJHKLMNOIHNOPOIH"#%%FI-*?0K-UV0N.<0###############################################################广义!"#$%&’’系统的时间积分定理!!)"#)葛伟宽梅凤翔!)(湖州师范学院物理系,湖州$!$%%%)#)(北京理工大学力学系,北京!%%%&!)(#%%&年’月(日收到;#%%&年&月!$日收到修改稿)研究了广义)*+,-
2、.//系统的时间积分定理0给出系统的时间积分等式,并由此等式导出类能量方程、类维里定理、一个积分变分原理和一个微分变分原理0关键词:广义)*+,-.//系统,时间积分定理,类能量方程,变分原理()**:%$#%(,!D!,#,⋯,#%)0(#)"!@引言将方程(!)两端乘以任意函数&"并对"求和,得时间积分定理是分析力学中的重要定理0这些!!!!!"·!!#定理不仅是理论工具,而且用于构造近似解析解时{("B!)"B"!"!"!"[!]显得十分方便0专著[#]用较大篇幅论述了完整和!!"&BC#}D%0($)""非完整系统的时间积分定理及其应用0文献[$]研究!$
3、了变质量非完整系统的时间积分定理0文献[A]研究将其在任意两个瞬时$%和$!之间积分,得了)*+,-.//系统的时间积分定理0对)*+,-.//系统的$![1—##]!!!!!"·!!#研究已取得重要进展0文献[#$]给出了广义"{("B!)"B"!"!"!"$)*+,-.//方程0由广义)*+,-.//方程描述的系统称为%广义)*+,-.//系统0本文研究广义)*+,-.//系统的时!!"&E$D%0(A)BC#}""!$间积分定理,给出广义)*+,-.//系统的时间积分等(A)式被称为广义)*+,-.//系统的时间积分等式0式,并由此导出一些方程、定理和原理0
4、适当选取任意函数&,可得到广义)*+,-.//系"#@广义)*+,-.//系统的时间积分等式统动力学的一些有用结果0广义)*+,-.//方程有如下形式[#$]:$@类功率方程!!!!!"·!!#!!"("B!)"B"B!$C#"D%取!"!"!"(,!D!,#,⋯,#%),(!)&D"·"(,#,⋯,#%),(1)"""D!其中#D#($,!)为)*+,-.//函数,!D!($,!)为(A)式给出""$)*+,-.//函数组0#D#($,!)为附加项0当#D%!"""!!!!!"·!·!#·""B""(,#,⋯,#%)时,方程(!)成为)*+,-.//方程"{("
5、B!)"""D!!"!"!"$%!!!!!"·!!#!!"("B!)"B"B!$D%!!"·"·"!"!"!"B"C#""}E$D%0(()!$!国家自然科学基金(批准号:!%1’#%#!)资助的课题0"2345*6:78,9-:;<0=>0$##物理学报;)卷由于则时间积分等式(4)给出#!!!!!"·!·%"""#,($)("!!)"!!!!!!""·!""!!$""!"!"!{(")"!"!"!!"#以及积分区间[#,#]的任意性,由(&)式得到##%!$·!!··!!!"""’#""*#"#((%&)!""!"""’#"""#(())"}""!#!"!
6、#称(%&)式为类维里(<-.-=>)定理(())式可改写为例"<=7*?.@1>方程为*$"!$!!!""·"’#"·"((+)*#!#!#"A&’$(%!&3)·&’&"#((%$)因为,-./0122函数通常代表能量,故称(+)式为类功利用类维里定理(%&),可求得振子(%$)的渐近振幅(率方程(由(+)式可得到如下命题和推论(令命题!如果动力学函数$,!和#满足%3·""""&,""&,条件则方程(%$)可表为!$!!···%3,"·3%%)3」"3!"""’#"""#,(%#)""""!"!$%!("("!#!#化为广义,-./0122系统,有则,-./
7、0122函数$为系统的积分(3!%"",!3"#,推论!对自治广义,-./0122系统,如果附加项%%3%33#满足条件$"(")’("),(%))"33·"#""#,(%%)%)3]"3,#"#%"!$[%!("3"#(则,-./0122函数$"$(!)是系统的积分(当$"#时,方程(%$)的解是频率%"%,振幅和相位推论"对,-./0122系统,如果函数$,!"满足依赖于初值的谐和解(因此,对$"#,可试渐近谐和条件解有形式!$!!"·""%"’8-7&,"3"’%618&,&"%#,(%+)!""#,(%3)!#!#其中振幅’和频率%待定(类维里定理(%&)
8、给出则,-