第4章-波动方程法叠前深度偏移2

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1、§4.4分步Fourier法波动方程叠前深度偏移在相移偏移方法的基础上，把速度场分解为常速背景和变速扰动两部分：对常速背景在频率-波数域采用相移处理；对层内的变速扰动，在频率-空间域采用时移校正（第二次相移）。该偏移方法称为分步Fourier（SSF）方法。该算法在数值上通过了脉冲响应测试、凹陷模型叠后深度偏移和Marmousi模型叠前深度偏移验证，说明它在较复杂地质条件下是一种稳定快速的叠前深度偏移算法，并可用做偏移速度分析。一．概述偏移方法由于波场延拓不同而相互区别。双程波波动方程有限差分法逆时偏移可以适应速度场的纵横向的任意变化，且不存在偏移倾角限制。但从经济可行性上考虑，人们一

2、般采用单程波方程的有限差分法偏移。这种用于波场延拓的单程波方程是舍弃了高阶项的近似方程，方程的阶数、空间采样率以及差分计算是采用显格式还是隐格式，都会直接影响计算的精度和稳定性。另外有限差分计算还存在频散影响。而相移法偏移（Stolt,1978;Gazdag,1978）是一种典型的Fourier偏移方法，它在频率-波数域求解微分方程，计算是精确和绝对稳定的，由于借助于快速Fourier变换，该算法的运行效率非常高。然而，频率-波数域的相移处理是基于层内常速假设的，不能正确处理横向速度有变化的地震波成像问题。Gazdag&Sguazzero（1984）提出用“相移加内插（PSPI）”来克

3、服相移法这一困难。即在每一层选取多个常速度作为参考速度，每个参考速度按相移法求取延拓波场，然后把各个延拓波场依据实际速度与参考速度的关系函数做内插，得到实际的延拓波场值。这种偏移方法同样是绝对稳定的，但其计算量随所取常速度的个数呈倍数关系增加，且也仅能适应速度场较缓慢的横向变化。为了利用Fourier偏移方法的优势，进一步提高偏移方法适应速度横向变化的能力，Stoffa（1990）在相移偏移的基础上，提出一种新的深度偏移方法，即分步Fourier法。该方法基于速度场分裂的思想，把整个速度场视为常速背景和变速扰动的叠加。在逐层波场延拓时，针对常速背景采用相移处理，即在频率-波数域实现，针

4、对层内的变速扰动，在频率-空间域采用时移校正。该方法继承了相移法的优点，同时也能适应速度场的中等程度的横向变化。且与相移法深度偏移比较，每层在计算上仅多出一次反Fourier变换和一次时移校正，在计算量上比“相移加内插”法要节省得多。本节各部分依次从方法原理、相对误差分析、实现流程和数值试算等方面对分步Fourier叠前深度偏移方法加以介绍，最后得出相应的结论。二．分步Fourier偏移方法的基本原理恒密度介质中的压缩波的传播特征可用如下方程描述：（4-65）其中，代表压力值，是介质速度。将（4-65）式变换到频率域，得（4-66）106其中，为圆频率，为波场的频率域形式：（4-67）

5、设为介质慢度，若将慢度场分解为两部分：（4-68）其中，为背景慢度场分量，它在层内是一个常数。为层内扰动慢度分量。定义为参考慢度。将（4-68）式代入（4-66）式得：（4-69）其中：（4-70）通过引进一个源项，（4-66）式的齐次方程就转换成了（4-69）式的非齐次方程。依据地震波场的叠加原理，方程（4-69）的解可以表示成：（4-71）其中，前者是背景慢度引起的波场，它为整个波场的主值部分；后者为波场的扰动项。由于为（4-69）式所对应的齐次方程的解，故满足：（4-72）由相移法可知，（4-72）式的解可写成：（4-73）而是方程（4-69）的解，它是由层内扰动源引起的。基于波

6、动方程的格林函数解法，有频率-波数域非均匀介质中的Kichhoff积分表达式（Berkhout,1985）：106（4-74）其中，（4-73）和（4-74）式中“”分别对应下行波正向延拓方程和上行波反向延拓方程。假设无多次波等干涉影响，对下行波波场沿时间传播方向正向延拓（深度向下延拓）的方程可以表示为：（4-75）其中，第一项代表在常慢度背景介质中的下行波波场深度延拓式子。第二项代表当前延拓步内二次源引起的附加波场分量。它实际是关于二次源的体积分形式，其格林函数为第一类Hankel函数。以上是在原介质条件下的准确推导。为便于求解，我们开始对慢度场做一些限定。由于大多数情况下，慢度扰动

7、相对于2倍背景慢度要小得多，即介质慢度场满足如下的界定条件：（4-76）这时，（4-70）式中关于慢度扰动的二阶项可以忽略不记。即有：（4-77）再把（4-77）式代入（4-75）式，转入频率-空间域可得到：（4-78）式中：（4-79）（4-78）式中的积分可近似写成求和形式：106（4-80）把（4-80）式代入（4-78）式加以整理，并由可得：（4-81）由（4-73）和（4-81）式，我们得到下行波深度外推公式：（4-82）在（4-82