第4章-波动方程法叠前深度偏移4

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1、§4.7几种波动方程叠前深度偏移方法的总结本节首先从Helmholtz方程出发，从方法原理上推导出了频率-空间域有限差分（FXFD）方法、Fourier有限差分（SSF）方法、分步Fourier（FFD）方法（相屏（PS）方法）和扩展的局部Born近似（ELBF）的广义屏（GS）方法。然后从常速和变速脉冲响应角度对比这几种偏移方法。最后从计算效率、方法精度和稳定性等方面综合评价了以上各偏移方法。一．几种波动方程偏移算子在方法原理上的统一前面的第三节到第六节依次讲述了FXFD方法、SSF方法、FFD方法和GS方法等几种叠前深度偏移方法。既然它们都是基于单程波波动方程

2、的，那么这几种偏移方法必然存在一定联系。在这里，我们把慢度场分解为常数参考慢度和慢度扰动（假设慢度扰动比慢度背景小得多）两部分。这样，慢度扰动可以视为波场传播过程中的二次源。下面从非均匀介质的Kirchhoff-Helmholtz积分形式（由波动方程的Green函数解法得到）出发，依次推导出GS偏移算子、PS偏移算子或SSF偏移算子（Stoffa,1990;Wu&deHoop,1992;Wu&Huang,1992,1996,1998），FXFD偏移算子和FFD偏移算子（Ristow&Rühl,1994）。从而使本章中的几种波动方程叠前深度偏移方法在某种意义下统一起

3、来。均匀介质中的齐次Helmholtz方程为：（4-169）式中，为圆频率，为介质慢度，为水平坐标（横向坐标），为波场的频率域形式。如果将慢度场分解为仅随深度变化的参考慢度和层内的慢度扰动，则有：（4-170）把（4-170）式代入（4-169）式，可得到非均匀介质中的Helmholtz方程：（4-171）其中，源项定义为：4-172）对（4-171）式沿做空间Fourier变换，得到：（4-173）其中，垂直波数定义为：。按地震波场的叠加原理，对于正向传播的波场，方程（4-171）的解可以写成背景波场和散射波场之和：（4-174）其中，126（4-175）按波动

4、方程的Green函数解法可得到散射场：(4-176)下面分几种情况加以讨论：1．GS偏移算子、PS偏移算子或SSF偏移算子的推导。如果Green函数采用常速介质中的Green函数，则有：（4-177）（4-178）如果在屏近似条件下，由deWolf近似和局部Born近似，并做薄板近似，散射场有如下形式：其中，。在运算中为了避开奇点，对做Taylor展开：（4-179）再利用近似：，则（4-174）式可进一步写成：（4-180）其中，（4-181a）（4-181b）式中，（4-182）式（4-180）即为我们所说的广义屏偏移算子，如果在小角度近似（，即）条件下，补偿

5、项可以忽略，则得到相屏偏移算子或分步Fourier偏移算子：126（4-183）2．FXFD偏移算子的推导。如果Green函数采用第一类Hankel函数，则有：（4-184）这样，下行波向下延拓的表达式可表示为：（4-185）对（4-185）式做积分处理得到（Rühl,1995）：（4-186）由，整理（4-186）式可得：（4-187）上式由Pade展开得到常规的单程波方程（Clearbout,1985）：（4-188）第三节中的绕射项方程正是具有方程的形式，只是其中的系数经过了优化处理。到此我们从Helmholtz方程出发，得到了频率-空间域的有限差分偏移算子

6、。3．FFD偏移算子的推导。对于（4-187）式，中括号中的第一项与相应的有限差分方程的差异为：（4-189a）其中，。中括号中的第二项与相应的有限差分方程的差异为：（4-189b）设，由（4-189）式进一步整理（4-186）式得到其频散关系：（4-190）126（4-190）式正好对应付立叶有限差分偏移算子。纵上所述，FXFD、FFD、SSF和GS算子均可从Helmholtz方程出发，经过波动方程的Green函数解法推导出来。由此说明几种叠前深度偏移算子在原理上是可以统一起来的。二．几种波动方程叠前深度偏移算子的比较尽管本章中的几种波动方程叠前深度偏移方法在K

7、irchhoff-Helmholtz积分意义下是可以联系起来的，但它们还是存在许多差异，这些差异决定这些方法各有特点。波动方程有限差分偏移中波场正向传播和反向传播的矩阵随层内横向速度的变化而调整，因此该类算法能自动适应速度场的任意变化。但通常用做波场延拓算子的单程波方程总是存在偏移倾角限制。为了改善这类算子的精度，即使所用的单程波方程在垂向附近较大角度内能够较准确地描述地震波的传播特征，通常采用的办法是采用优化系数的单程波方程，使其阶数尽量低，偏移倾角又尽量高。Fourier类偏移方法的优势在于无偏移倾角限制，计算效率高。但为了提高其适应速度场横向变化的能力，通常

8、是把速度场