计算方法复习习题

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1、第1章误差三、重、难点分析例1.近似值的误差限为（）。A．0.5B.0.05C．0.005D.0.0005.解因，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为。或，其误差限为所以答案为B.例2..已知，求的误差限和相对误差限。解：（绝对）误差限：所以（绝对）误差限为，也可以取。一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取。相对误差限：所以，相对误差限例3.已知求近似值的误差限，准确数字或有效数字。解由误差限为因为，所以由定义知是具有4位有效数字的近似值，准确到位的近似数。注意：当只给出近似数时，则必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。例4.已知近似数求的误差限

2、和准确数位。解因，12所以准确到位。准确到位。注意：函数运算的误差概念，特别是其中的符号。第2章线性方程组直接解法三、重、难点分析例1用列主元消元法的方程组注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得，第2列主，元为交换第2、3方程位置后消元得回代解得第3、4章插值与拟合12三、重、难点分析例1已知用线性插值计算，并估计误差。解取插值节点x0=4,x1=9，两个插值基函数分别为故有误差为例3已知的函数表x012y8-7.5-18求在[0，2]内的零点近似值。解因为yi关于x严格单调减少，用反插值法求f(x)零点的近似值比较简单

3、，具体作法如下：先作反函数表x8-7.5-18y012将节点x0=8,x1=-7.5，x2=-18及对应函数值y0=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得于是得f(x)在[0，2]内零点值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。例4已知数表：123123.87.210求最小二乘一次式。解设最小一次式为，由系数公式得：于是有法方程组解法方程组得所以最小二乘一次式例5求下列矛盾方程组的最小二乘解。解令由得法方程组解得所以最小二乘解为12例6已知插值基函数，证明：当时，证明：令

4、，则有因为，所以。第5章数值积分三、重、难点分析例1在区间上，求以为节点的内插求积公式。解：由系数计算公式得所以求积公式为例2求积公式的代数精确度为（）。解由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。令，代入内插求积公式得左边=，右边，所以左边=右边再令，代入内插求积公式得左边=，右边=所以左边右边所以此公式具有3次代数精度。例3用梯形公式和的复化梯形公式求积分，并估计误差。解（1）梯形公式12因为，，代入梯形公式得则（2）复化梯形公式因为和复化梯形公式得因为，，所以注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算积分时注意系数的排列。例4用辛卜生公式和复化辛卜生公式计

5、算积分，使误差小于解（1）辛卜生公式因为，，代入辛卜生公式得4（2）复化辛卜生公式因为解不等式得，用，复化辛卜生公式计算得12例5设为内插求积公式系数证明证明：设，因为所以。例7在电路设计中，产生正弦波的间接方法是用折线函数来逼近正弦曲线。这种方法在信号波形变换中行之有效且普遍应用，但有一个难题是：当选取定插值节点数目后，如何确定插值节点的位置使折线逼近正弦曲线和程度最好？（1）在区间上，取插值节点，写出求定积分的复合梯形公式；（2）令，用求极值的方法列出插值节点满足的方程组1)解：依题意，2）解：令则12第6章常微分方程数值解法三、重、难点分析例1用欧拉法，预估——校正法

6、求一阶微分方程初值问题，在（0.1）0.2近似解解（1）用欧拉法计算公式，计算得（2）用预估—校正法计算公式计算得，例2已知一阶初值问题求使欧拉法绝对稳定的步长h值。解由欧拉法公式相减得当时，时，有12欧拉法绝对稳定。例3欧拉法的局部截断误差的阶为。改进欧拉法的局部截断误差的阶为。三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为。四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为。第十章非线性方程求根三、重、难点分析例1证明计算的切线法迭代公式为：并用它求的近似值（求出即可）解（1）因计算等于求正根，，代入切线法迭代公式得(2)设，因所以在上由，选用上面导出的迭代公式计算得例3用割线法，一般迭代法求

7、的最小正根（求出即可）。解（1）用割线法因，，故，在上，，，，12取，，用割线法迭代公式，计算得（2）用一般迭代法因，，故在上将，同解变形为则取应用迭代公式，计算得第8章线性方程组的迭代解法三、重、难点分析例1已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。解，例2证明证明因为12所以例3已知矩阵，求矩阵A的三种常用范数。解，，例4已知方程组（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当时，雅可比迭代法收敛（3）取,，求出。解（1）对，从第个方程解出，得雅可比法迭代公式为：（2）当时，A为严格对角占优矩阵