[工学]计算方法复习题

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1、总复习一.填空题1．对于较大的正数,计算时为使计算结果更准确应将其变形为.2．设是某个数四舍五入的近似值，其有效相对误差限为数字的位数为,..3．已知,则,4．已知函数的数据表为x123y1.21.51.6用复化梯形公式计算用Simpson公式计算.,5．求解线性代数方程组的迭代格式充要条件是收敛的.条件是其代数精度至少为.10数值求积公式是插值型的充要二．确定常数使得迭代法局部收敛到并有尽可能高的收敛阶。解：要为的根，则要，则有要，则有将方程联立得可验证所以是三阶收敛。三．四．用LU分解法求下列方程组解(1)求A的LU分解五．方程组

2、的系数矩阵为问J迭代法当a为何值时收敛？下面方程组J迭代法与GS迭代法是否收敛？J迭代法：Jacobi迭代法收敛!GS迭代法收敛？Gauss-Seidel迭代法发散!六解:且七.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:因此所以该积分公式具有3次代数精确度八.用改进的Euler法求解下面的初值问题解改进的Euler法计算如下九．已知求解的公式如下：试确定常数，使该公式具有尽可能高的精度。解求局部截断误差即此时公式为方法阶至少为2。是2阶精度的。证明求微分方程数值解的梯形公式十.证明:越小，误差就越小。对吗？设则1.不相容方程

3、组的最小二乘解为2.3.对于线性方程组的近似解,十一.设求积公式为插值型求积公式（1）试确定其求积系数（2）试确定该公式的代数精度；（3）利用该公式计算的近似值十二.解Newton迭代格式为十三.用Newton迭代法求方程在0.5附近的根,求迭代公式的局部收敛速度.十四.用Seidel迭代法求解方程组解：Seidel迭代格式为因为系数矩阵严格对角占优，故Seidel方法对任意收敛。2范数为最小即线性最小二乘拟合问题的提法给定m+1对数据(xi,yi),i=0,1,2,……,m在选定的有限维维函数空间Ф中求p(x)使偏差如果函数p*(x

4、)能使偏差达到最小，则称函数p*(x)为最小二乘解！由此确定线性组合的系数，就可以求出最小二乘解！显然Q是关于线性组合的系数的多元函数：它是关于a0,a1,a2,……,an的一个二次齐次多项式函数，故任意阶可导，又由于Q是正定的，从而必有最小值，最小值点可由驻点求出：它是关于a0,a1,a2,……,an的一个二次齐次多项式函数，故任意阶可导，又由于Q是正定的，从而必有最小值，最小值点可由驻点求出：即这其实是一个关于ak方程组!它共有n+1个方程，n+1个未知量！我们称它为最小二乘问题的法方程组！引入向量则它们都是向量空间Rm的向量，由

5、内积的概念可知:显然内积满足交换律将其表示成矩阵形式这是法方程组的内积形式！构造一个(m+1)×(n+1)矩阵：则有：G的第j列就是向量ψj!从而法方程组又可以写成：这是法方程组的矩阵形式！线性方程组的最小二乘解线性方程组Ax=b可能有解称为相容，也可能没有解称为不相容。对不相容的方程组，虽然没有解但它的最小二乘问题：却是有解的，因为它的法方程始终有解，这些解称为原方程组Ax=b的最小二乘解！例它的法方程最小二乘解为：近似解的误差估计设　　的近似解为　，则一般有cond(A)残向量注意：对于病态方程组，不能用残向量的大小衡量近似解的精

6、度．定义1.因为一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有定义2.定义3.一．２．相对误差相对误差限绝对误差限设为精确值，为近似值，有效数字用科学计数法，记(其中）若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。有效数字与相对误差的关系有效数字相对误差限已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限有效数字已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字。例：为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设*取到n位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证

7、其上限满足已知a1=3，则从以上不等式可解得n>6log6，即n6，应取*=3.14159。常用向量范数：==niixx11

8、

9、

10、

11、

12、

13、v==niixx122

14、

15、

16、

17、

18、

19、vpnipipxx/11

20、

21、

22、

23、

24、

25、==v

26、

27、max

28、

29、

30、

31、1inixx=v（行范数）（列范数）（谱范数/*spectralnorm*/）计算次序与计算规律：此时方程组求解收敛判定条件