taf代数中的jordan闭理想

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1、TAF代数中的Jordan闭理想Vo1.26(2006)No.4,pp42743O数学杂志J.ofMath.(PRC)TAF代数中的Jordan闭理想纪培胜(青岛大学数学系,山东青岛266071)摘要:本文研究了TAF代数A及其对角构成部分Jordan一三元组(A,D)中的Jordan闭理想和结合理想之间的关系.利用相应的AFC一代数B中一些典型的收缩投影,证明了(A,D)中的Jordan闭理想是A的结合理想.关键铡:部分Jordan*一三元组;Jordan闭理想;TAF代数MR(2000)主题分类号:47L25中图分类号:O177.1文献标识码:A文章编号:0255-7797

2、(2006)04-0427-041引言Kaup和Upmeier及Vigue证明了一个复Banach空间A的单位开球的解析结构如何导致A存在一个闭子空间A(称为A的对称部分),及一个从A×A×A到A的部分三元积(口,b,c)一{abc}.相应于一个复空问A的Jordan*三元组(A,A,{})的部分三元积的纯代数性质,即关于外边变量的线性及对称性,关于第二个变量的共轭线性及三元等式,在六十年代末,七十年代初由Koecher,Loose,Meyberg系统研究.但研究大都局限在A一A的情况(称为对称空间),对于对称部分是真子空间的了解并不多.事实上,确定非对称空间的对称部分有时是一

3、种难以捉摸的工作.在有的情况下,对称部分仅为零空问.但有一些有趣的例子中对称部分既不是零,也不是对称空间,如一些非自伴的算子代数,如Nest代数,TAF代数,vN代数中的Cartan双模代数.下一部分说明一个TAF代数,对角部分D及自然定义的部分三元积构成一个Jordan*三元组(A,A,{}).作为结合代数,TAF代数中的范数闭理想(称为结合理想)被刻划的比较清楚,参见[1].下面会看到,结合理想显然是部分三元积意义下的理想.相反的问题在一般情况下是不定的.E2]证明一部分Nest代数中的部分三元积意义下的弱*闭理想是结合理想.本文的目标是证明TAF代数中部分三元积意义下的范

4、数闭理想是结合理想.2TAF代数中的Jordan闭理想首先给出一些相关的概念和记号,可参见E3-i.C一代数B为AFC代数指B中存在一个有限维C一子代数升链{B}使得UB稠于B.B的一个masa(极大交换C子代*收稿日期:2004—04—24基金项目:国家自然科学基金资助项目,(10371061);天元基金资助项目,(A0324614)作者简介:纪培胜(1967一),男,山东省胶州.博士.教授,主要从事算子代数方面的研究E—mail:j.ipeish@yahoo.corn428数学杂志数)D称为典型的,指B中存在一个有限维子代数升链{B}使得UB稠:FB,并且任给BnD是B的m

5、asa.任给一个AFC一代数B,一个典型masaD,及相应的有限维C子代数升链{B),存在B的一个子集{e:i,.72},满足任给n,{e:,)为B的一个矩阵单位系,任给,e∈D,并且每个是{:,5)中某些元素的和,此时称之为B关于D的一个矩阵单位系.B中一个闭子空间S称为归纳的指U.(BnS)稠于S.[3]中证明了如果S是B的一个闭D一双模(即DSD~_S),则S是归纳的.显然此时S是{e:e∈S}的闭线性扩张.B中的一个范数闭子代数A称为TAF代数,指AnA一D,其中A一{6Z:6Z∈A).由于AFC代数是一种特殊的GroupoidC代数,从而[1]中结果完全刻划了TAF代

6、数中的范数闭结合理想.部分Jordan*一三元组是指一个代数结构(B,B),其中B是一个复向量空间,B是B的一个复向量子空问,及一个从B×B×B到B上的映射(n,b,c)一{abc),它关于外边变量6Z,C是对称的,双线性的,关于第二个变量b是共轭线性,并且满足下列条件:(i){B,B,B)cB,(ii)任给n∈B,b,c,d∈B满足[D(n,6),D(c,)]:D(a,{bcd))一D({adc),6)其中对于e∈B,fEB,D(e,厂)是下式定义在B上的线性映射D(e,厂)g一{efg),g∈B现在在TAF代数A上自然的赋予部分三元积{):A×D×A—A,其定义如下:任给n

7、,c∈A,b∈D{aac)一显然TAF代数A关于部分三元积是一个部分Jordan*一三元组.A的一个闭子空间J称为Jordan闭理想,指{J,D,A)+{A,JnD,A)J本文的主要目标是证明A中的Jordan闭理想是结合理想,关键步骤是证明J为归纳的.我们分成几个引理证明.引理2.1设J是A中的Jordan闭理想,任给bEJ,任给n∈A,则ab+ba∈J;任给D中两个相互正交的投影,q,都有6q+qbp∈J.证任给,设"是B的单位元,显然"∈D,并且{")是B的一个逼近单位元.任给6∈J,