3-幂零矩阵的jordan 标准型 高等代数毕业论文

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1、3-幂零矩阵的Jordan标准型摘要：本文主要对2-幂零矩阵，3-幂零矩阵的Jordan标准型进行探讨，对2-幂零矩阵，给出了2-幂零矩阵的Jordan标准型的形式，并指出若固定秩，则有唯一的Jordan标准型，对n阶3-幂零矩阵，文中推导出其秩的范围和其Jordan标准型的个数，并给予证明，若其秩为一固定值，文中推导出了它的Jordan标准型的个数，并给予证明。关键词：k-幂零矩阵征值；2-幂零矩阵；3-幂零矩阵；若当形矩阵；Jordan标准型；特征多项式；特征根；初等因子；秩0、引言定义1：设（表示复

2、数域C上全体矩阵），若存在正整数k，使得，则称A是幂零指数为k的幂零矩阵记为k-幂零矩阵特别地，当k=2时，即矩阵A满足，称A为2-幂零矩阵当k=3时，即矩阵A满足，称A为3-幂零矩阵。定义2：形式为的矩阵称为J块，其中是复数，由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。定义3：每个阶的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的Jordan标准型。目前关于幂零矩阵的Jordan标准型，仅有文[1]的关于2-幂零矩阵的研究探讨，有以下三个性质

3、：性质1：当k=2即复数域C上的n阶2-幂零矩阵A的Jordan标准型为，其中（），，且21至少存在一个j，使即至少存在一个性质2：设C是复数域，而A是C上2-幂零矩阵，设A的秩为r，则，而A的Jordan标准型为，其中对角线上有r个。性质3：两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。1、引理引理1.1：A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0。证明：可见文[2]引理1.2：设，则，而。引理1.3：复数域C上的k-幂零矩阵A的标准型具有形式，其中（），且至少存在一个若当块，使。证明：因为A为幂零矩阵，

4、故A的特征值全为0，于是A的特征多项式为。设幂零矩阵的A的初等因子为可能相同，且），每一个初等因子对应一个J块（），这些J块构成一个若当形矩阵21因为A为k-幂零矩阵，所以J中存在即至少存在一个j，使即命题成立。由引理1.3，易证得关于2-幂零矩阵的那三个性质是成立的2、主要结果及证明由引理1.3我们知道n阶k-幂零矩阵A的Jordan标准型为，其中（），且至少存在一个j，使当k=2，由推论3，任一个2-幂零矩阵，若它的秩确定，则它有唯一的一种Jordan标准型。那么对于k，（k为大于2的正整数）任一个k

5、-幂零矩阵,若它的秩固定，它是否也有唯一的Jordan标准型，若不唯一，它又含有多少种的Jordan标准型？下面我们对3-幂零矩阵进行探讨：设A为n阶3-幂零矩阵，由引理1.3知A的Jordan标准型为，（），，且，至少存在一个j，使不妨设，则下面我们对讨论的值的情况（）及所对应的A的秩r(下面括号里的数表示秩的大小)21n=3n=4n=5n=6n=7n=83=3(2)4=3+1(2)5=3+1+1(2)6=3+1+1+1(2)7=3+1+1+1+1(2)8=3+1+1+1+1+1(2)5=3+2(3)6

6、=3+2+1(3)7=3+2+1+1(3)8=3+2+1+1+1(3)7=3+2+2(4)8=3+2+2+1(4)6=3+3(4)7=3+3+1(4)8=3+3+1+1(4)8=3+3+2(5)n=9n=10n=11(2)(2)(2)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(5)(5)(6)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(6)(6)(6)(6)(7)同理我们可以得出的情况将列表，得到阶数为n的3-幂零矩阵，当其秩为r时所含有的不同的Jordan标准型的个数（空格表示0）23456789101112131

7、415161718192021222324314151161117112811219112211011222111122311211223212113112233214112233311511223342116112233432171122334431181122334442119112233445322011223344543121112233445542122112233445553223112233445564312411223344556542125112233445566532261122334

8、45566643127112233445566754212811223344556676532291122334455667764313011223344556677754213111223344556677865323211223344556677876431331122334455667788754213411223344556677888653235112233445566778897643136112233445566