第四章 自动控制原理-根轨迹法

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1、4.1根轨迹法的基本概念4.2根轨迹的绘制法则4.3广义根轨迹4.4系统性能的复域分析4.5基于Matlab的根轨迹分析4.6本章小结14.1根轨迹法的基本概念例4-1某单位负反馈系统的开环传递函数为试分析当该系统的特征方程的根随系统参数K的变化在s平面上的分布情况。解：系统的特征方程为s2+2s+K=0。其闭环极点为：可画出当K:0∞时的系统特征根在S平面上的运动曲线(变化轨迹)，称这条曲线为系统的根轨迹，如图4-1所示。KG0(s)=———s(s+2)2图4-1例4-1的根轨迹Q1：由图可得什么结论Q2：高阶系统的根

2、轨迹如何绘制0sjw-2K=0K=00

3、G(s)H(s)

4、ej∠G(s)H(s)=1·ej180(2k+1)，(k=0,±1,···)

5、由此可得到所谓的幅值条件和相角条件：幅值条件：

6、G(s)H(s)

7、=1(4-2-a)相角条件：∠G(s)H(s)=180o(2k+1),K=0,±1,···(4-2-b)5设系统的开环传递函数为:K0是开环放大系数，K称为开环根轨迹增益(k=0,±1,···)(4-4-b)(4-3)幅值条件：相角条件：(4-4-a)6综上分析，可以得到如下结论：相角条件与开环根轨迹增益值K无关。所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。幅值条件与开环根轨迹增益K值有关。即K值的变化会改变系统的闭环极点

8、在s平面上的位置。在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。74.2根轨迹的绘制法则通常，我们把以开环根轨迹增益K为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹(或一般根轨迹)，其绘制规则主要有：根轨迹的起点、终点与分支数；根轨迹的连续性与对称性；实轴上的根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹的起始角(出射角)和终止角(入射角)；根轨迹与虚轴的交点。8Ru

9、le1:根轨迹的起点、终点与分支数当K=0时闭环极点的位置即根轨迹的起点；而当K=∞时闭环极点的位置即根轨迹的终点。根轨迹起始于开环极点(起点)，终止于开环零点(终点)根轨迹的分支数即根轨迹的条数。一个特征根(闭环极点)由起点移到终点的轨迹叫做根轨迹的一条分支。显然，分支数=max(n,m)，即等于系统的闭环极点数。9Rule2:根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。故可以只绘制上(或下)半平面根轨迹！【为什么】闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下，各根分别是K的连续函数；特征方程的根为实根或共轭复数根。

10、10如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。开环零点：z1开环极点：p1、p2、p3、p4、p5在实轴区段[p2，p3]上取试验点s1每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360°；s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180°；？Rule3:实轴上的根轨迹11Rule4:根轨迹的渐近线当n＞m时，将有n-m条分支终止于无穷远零点并分别趋于各自的渐近线。渐近线与实轴的交点位置sa和与实轴正方向的夹角ja分别为

11、：121）当k值取不同值时，a有（n－m）个值，而a不变；2）根轨迹在s∞时的渐近线为（n－m）条与实轴交点为a、倾角a为的一组射线。13Rule5:根轨迹的的分离及会合点当参数K取某些值时，闭环特征方程出现重根，在根轨迹图上，就是根轨迹分支在该点相遇或分开，分别称为会合点和分离点【分离点与会合点可位于s平面的任何位置】。AB图4-3实轴上的分离点与会合点分离点会合点14设系统的开环传递函数15根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上的分离点(或会合点)与特征方程式的重根相对应。若为二重根，必同时满足和

12、。因此求得：消去，可得到：便于记忆，上式又可写成：以上分析没有考虑(且为实数)的约束条件，所以只有满足的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。分离点或会合点的必要条件16例:设系统试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。解：系统的开环传递函数：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1