易拉罐的最优设计

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1、易拉罐的最优设计1问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐（易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：1、取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉

2、罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2、设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3、设易拉罐是一旋转体，上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。例如说，半径和高之比，等等。4、利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5、用你们做本题以及以前学习和实践数学

3、模型的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。2评阅要点饮料罐(易拉罐)的最优设计涉及多方面的问题：怎样的制造过程可以降低材料耗损(减少边角料等)、能源、用更少的部件来制作、改换材料以减重量或更为廉价、变更形状更便于制造和灌装、甚至换一种加工次序等等，其目的就是既要满足用户的需求又要降低成本。据命题人的了解（包括询问可口可乐公司有关人员），该公司的易拉罐都是铝制的，罐的形状和尺寸有一个演变过程，现在用的两片罐的中心端面形状大致如下：这种罐的制作过程大致如下：先

4、做成一个直圆柱(正圆柱)的杯子，再利用铝的延性，在加热条件下，把罐的侧边拉到一定的高度，略为收口等，便于和较厚的同质圆片焊接，内外涂层，灌装、测试、打包、外运等。在美国，这种形状易拉罐各部分(以千分之一英寸为单位)的厚度大致如下：底部厚：8—11,侧壁厚：4,颈部厚：6,顶盖厚：9。据说在其他地方生产的易拉罐，各部分的厚度可以略有变化。本题主要测试学生在测量或间接获得数据的基础上，经过观察、分析做出合理的简化假设，形成数学模型，正确、合理并简捷地求解相应的数学问题，合理地验证自己的数学模型（合理地解释所测量的易拉罐的形状和尺寸）。特别

5、是希望学生根据自己的想象力做出有自己特色的建议。更重要的是，这种最优设计的数学建模也许是关键（或重要）的一步，但决不是全部，在有些情况下物理、工程等考虑可能更重要（或不可忽略），希望同学了解真正的最优设计是一个相当复杂的过程，数学不可能单打独斗。1、共15分，考察学生的动手能力，自己测量的10分以上，体积有错应该扣2分），从网上抄的最多12分。能够说明自己是怎么测量的，并列表说明（尽管有的数据可能误差较大），应该说相当好；能够从网上查到比较准确的数据，并说明出处，表明了一种能力，也是相当好的；照抄其他文章就不太好了。2、共15分，要求

6、模型表述清晰，其中假设4分，模型与计算9分，验证2分。无二阶导数大于零的验证不扣分。根据如下的中心端面的形状，可以计算出易拉罐所用材料的总体积(目标函数)。罐内的体积已知(大于355立方厘米)为约束条件之一。还应该有其他的约束条件，例如，顶盖有拉环，从而顶盖的直径也是有限制的，要能够用手握住，因此，罐的直径是有限制的，等等。3、共30分，其中假设（大、小半径）、建模占15分，计算、验证、分析占15分。目标函数考虑材料的体积是最好的，若考虑面的价格也可以。对于中心端面形状为如图所示的情形，如果还考虑材料的体积的话，可以有如下的做法。设

7、饮料罐侧壁材料的厚度为，顶盖材料的厚度为,底部材料的厚度为，饮料罐内的体积为。圆台内部上底的半径为,下底的半径为,高为。圆柱内部的半径为，高为。这里为自变量，为参数。饮料罐所用材料的总体积(目标函数)为：约束条件和2中的类似。这部分要求学生能正确、合理和简捷地求解，能够分析所得计算结果。如果还能够从多元函数无约束极值的判定的充分条件，Hesse矩阵的正定性等方面进行分析，然后给出合理的结论和解释，这就相当好了。如果能够从其他角度考虑，而且目标函数、约束条件清楚，能够正确、合理和简捷地求解，给出合理的结论和解释，应该说更好了。4、共15

8、分，其中假设、建模5分，计算、验证、分析占10分，要求说明比2和3好在哪里。要求学生想象力做出自己的最优设计。从材料总体积的角度考虑，可能有同学会研究中心端面形状为或更复杂的形状的易拉罐。也可以从顶盖圆片下料的角度研究