索赔次数分布的拟合与应用

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1、精算知识讲座精算通讯第四期索赔次数分布的拟合与应用韩天雄华东师范大学统计系-37-精算知识讲座精算通讯第四期§1索赔次数分布风险有两个主要因素：其一是在一定期内危险事故可能发生的次数，即索赔次数；其二是每次事故可能损失的大小，即索赔金额。这两个量都是不确定的，它们各自反映了风险的可能性的严重性。风险的数量特征是在这两个量的乘积中得到体现的，因此它也具有不确定性。我们将通过实例来介绍如何确定索赔次数分布。表1的资料取自Johnson与Hey的论文（1971），它记述了1968年英国的421240张机动车综合保险单中的0,1,2,3,4,5次索

2、赔频率数。表1：索赔频率数索赔次数x观察到的保单数m037041214654523935331742853计算可得，索赔次数平均值，方差。当索赔事件满足下列三个假定：1°每一时间区间中索赔次数是相互独立的。2°一次事故仅有一次索赔。3°事故发生的确切时间是不确定的。我们有把握的说，索赔次数服从泊松分布。此时，索赔次数k的概率：其中n为参数。按照泊松分布的性质，它的均值与方差都为n。利用这个性质与表1的资料，我们将索赔次数拟合成以参数n=0.13174的泊松分布。利用概率公式以及递推公式,可计算出索赔次数k=0,1,2,3,4,5的概率值：将

3、这些概率值乘上保单数目421240，则得到了泊松分布条件下索赔频数（见表2）。从表中可见，拟合得并不理想。显而易见的事实是，表1资料中得到的索赔次数均值0.13174与方差0.13852不等，所以它只能是近似地服从泊松分布。而深层次的原因是索赔事件未能完全满足三个假定。例如，在恶劣的气候条件下，路况变坏，那么很难保证索赔次数独立性假定。另外，汽车相撞事件也使条件2°不能成立。在索赔次数均值为0.13174的421240张保单中，最可能的事实是风险的不同质，即某些保单持有人风险状况很糟，而另一些持有人风险状况很好。它与汽车类型、用途、使用时间

4、、行驶里程和驾驶技术有关。用负二项分布来描述非同质的索赔次数分布是常见的。负二项分布索赔次数k的概率：，（k=0,1,2,…）其中a，P为参数。按照负二项分布的性质，其均值和方差分别为和。利用这个性质和表1的资料，我们将索赔次数拟合成负二项分布。具体操作方法为：令将第一式除以第二式可计算出参数P=0.9510539，再代入原式求出参数a=2.5597912。利用概率公式：以及由它而导出的递推公式：-37-精算知识讲座精算通讯第四期可计算出在负二项分布条件下，索赔次数k=0,1,2,3,4,5的概率值：将这些概率值乘上保单数421240，得到

5、了负二项分布条件下索赔频数（表2），很明显，它提供了比泊松分布更好的拟合。表2：机动车综合保险索赔次数分布索赔次数观察到的保单数目拟合的频数泊松负二项混合泊松03704123692463704603704601465454864446411464182393532044045403633171413013064285212053011描述风险不同质的另一常用技术是混合泊松分布方法，以本文所提到的英国机动车辆综合保险为例，虽然平均索赔次数为0.13174，但是天气状况明显影响索赔次数的均值。譬如，下雪天平均索赔次数将为平常的q1倍（如q1=3

6、），而全年中下雪天概率为h1（如h1=0.03）；下雨天平均索赔次数为平常的q2倍（如q2=1.2），而全年下雨的概率为h2（如h2=0.2）；晴天平均索赔次数仅为平常的q3倍（如q3=0.87），而全年晴天的概率为h3（如h3=0.77）。上述情况可记为：我们称q为混合变量。按照概率论，我们要求，并且即有：引入混合变量q后的分布称为混合泊松分布。全年索赔次数分布可看作雪天服从参数为nq1的泊松分布，雨天服从参数为nq2的泊松分布和晴天服从参数为nq3的泊松分布的组合。在混合泊松分布中，可以证明均值为n，方差为索赔次数k的概率公式：。有人曾

7、经用表1的资料，利用，，均值n方差及概率公式求出参数（此处混合变量q仅取二个值）：q1=0.65341h1=0.76519q2=2.1293h2=0.23481则k=0,1,2,3,4,5同样，将所得概率值乘保单数421240得到混合泊松分布条件下索赔数（表2），从表中比较可见，拟合情况略好于负二项分布。一般而言，当混合变量q取值越多时，拟合的结果将更令人满意。当然，计算量也将随之增加。研究索赔次数的分布，它的优越性在于分布仅由少量参数所概括，而不必再与冗长的观察数据打交道。即使在观察值数据很少和或难以得到的情况下，我们也能通过假定对索赔次

8、数进行数量分析。当得到分布后，那么概率论中许多定理、性质可以利用，它将有助于许多问题的分析，解决保险业中所遇到的问题。§2应用举例有了索赔次数的数量描述，可以使保险人据此推断某些