巧用凸多边形内角和定理解题

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1、巧用凸多边形内角和定理解题凸边形的内角和等于(n-2)·180°，利用这个定理，已知边数可以求内角和的度数，已知内角和的度数也可以求边数，对于一些复杂的问题灵活运用它，往往也能简便求解，请看以下例示：例1如图1所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．ABCDEFG12图1）（分析：所给图形虽是由若干条线段首尾顺次相连而成，但不是凸多边形，因而无法直接采用凸多边形内角和计算公式求解，为此，可联结AD，将所求问题转化为三角形和凸多边形的内角和来求解．解：联DA，因为∠DGA=∠BGC∴∠1+∠2=∠B+∠C∵凸四边形ADEF的内角和为∠1+∠EDC+∠E+

2、∠F+∠BAF+∠2=（4-2）×180°=360°所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°例2如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，设最小内角为100°，最大内角为140°，那么这个多边形的边数为多少？分析：最小内角100°，最大内角为140°，并且依次增加相同的度数，则多边形的内角平均度数为（100°+140°）÷2=120°，可设边数为x，建立方程求解．解：依题意可知多边形的内角平均度数120°，设多边形的边数为x，则有120°·x=（x-2）·180°，解之得x=6故此多边形为六边形例3一个凸多边形的一个内角的外角与

3、其他内角和为500°，求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数为x，这个内角为α，则有180°-α+2/2（x-2）·180°-α=500°化简，得（x-2）·180°=360°+2α-40°令360°+2α-40°=k·180°，当k=2时，α=20°；当k=3时α=110°故α=20°时，x=4；当α=110°时，x=5所以这个多边形是四边形或五边形．例4某单位地板由三种正多边形的小木板铺成，这三种多边形的边数分别为x、y、z，求++的值．分析：本题未知数较多，看似无法求解，其实观察题设条件知，设三个正多边形每个内角分别为α、β、γ，则α+β+γ=360°

4、，结合正多边形的内角和与边数的关系可简便求解．解：设三个正多边形每个内角分别为α、β、γ，则α+β+γ=360°①又有α=（x-2）·180°，β=（y-2）·180°，z=（z-2）·180°②将②代入①，整理可得++=2/2