2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

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1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）函数与是等价无穷小，则（）（A）1（B）2（C）3（D）无穷多个（2）当时，与是等价无穷小，则（）（A）（B）（C）（D）（3）设函数的全微分为，则点（0，0）（）（A）不是的连续点（B）不是的极值点（C）是的极大值点（D）是的极小值点（4）设函数连续，则=（）（A）（B）（C）（D）（5）若不变号，且曲线在点（1，1）的曲率圆为，则在区间

2、（1，2）内（）（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点（6）设函数在区间[-1,3]上的图形为则函数为（）（7）设Ａ、B均为2阶矩阵，分别为A、B的伴随矩阵。若

3、A

4、=2，

5、B

6、=3，则分块矩阵的伴随矩阵为（）（A）（B）（C）（D）（8）设A，P均为3阶矩阵，为P的转置矩阵，且AＰ＝，若，则为（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）曲线在（0，0）处的切线方程为____________（10）已知

7、，则k=____________（11）=___________（12）设是方程确定的隐函数，则=____________（13）函数在区间(0,1]上的最小值为_________（14）设为3维列向量，为的转置，若相似于，则=___________三、解答题：15-23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分9分）求极限（16）（本题满分10分）计算不定积分（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与（18）（本题满分10分）设非负函数y

8、=y(x)(x0)，满足微分方程，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。（19）（本题满分10分）求二重积分，其中（20）（本题满分12分）设y=y(x)是区间内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的发现都过原点，当时，函数y(x)满足。求y(x)的表达式。（21）（本题满分11分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数在[a,b]上连续，在（a,b）可导，则存在，使得。（II）证明：若函数在x=0处连续，在内可导，且则存在，且。（22）（本题满分11分）设

9、（I）求满足的所有向量；（II）对（I）中的任一向量，证明：线性无关。（23）（本题满分11分）设二次型（I）求二次型的矩阵的所有特征值；（II）若二次型的规范形为，求a的值。2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】：【解析】：，所以为垂直的，所以为水平的，没有斜渐近线故两条选（2）设函数，其中为正整数，则

10、（A）（B）（C）（D）【答案】：【解析】：所以（3）如果在处连续，那么下列命题正确的是（）（A）若极限存在，则在处可微（B）若极限存在，则在处可微（C）若在处可微，则极限存在（D）若在处可微，则极限存在【答案】：【解析】：由于在处连续，可知如果存在，则必有这样，就可以写成，也即极限存在，可知，也即。由可微的定义可知在处可微。（4）设sinxdx(k=1,2,3),则有D（A）I1

11、，即可知关于在上为单调增函数，又由于，则，故选D（5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】：（C）【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）（6）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】：（B）【解析】：，则，故故选（B）。（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则（）【答案】：（A）【解析】：的联合概率密度为则（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）【答案】：【解析】：设两段长度分别为，

12、显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）若函数满足方程及，则=________。【答案】：【解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。故（10）________。【答案】：【解析】：令得（11）_______