3正交编码与伪随机序列

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1、3.正交编码与伪随机序列在数字通信中，正交编码与伪随机序列都是十分重要的技术。正交编码不仅可以用作纠错编码，还可用来实现码分多址通信。伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加密及分离多径等方面有十分广泛的应用。3.1.正交编码一、几个概念1、互相关系数设长为n的编码中码元只取+1、-1，x和y是其中两个码组，，其中则x、y间的互相关系数定义为如果用0表示+1、1表示-1，则，其中A是相同码元的个数，D为不同码元的个数。2、自相关系数自相关系数定义为：，其中下标的计算按模n计算。3、正交编码若码组，（为所有编码码组的集合）满足，则称C

2、为正交编码。即：正交编码的任意两个码组都是正交的。例1：已知编码的4个码组如下：试计算的自相关系数、的互相关系数。4、超正交编码若两个码组的互相关系数，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任何两个码组间均超正交，则称这种编码为超正交编码。例2：例1中取后三个码组，且去掉第1位构成的编码为超正交编码。（0，1，1），（1，1，0）（1，0，1）5、双正交编码由正交编码及其反码便组成双正交编码。例3：正交编码（1，1，1，1）（1，1，0，0）（1，0，0，1）（1，0，1，0）反码为（0，0，0，0）（0，0，1，1）（0，1，1，0）（0

3、，1，0，1）双正交码中任意两个码组间的互相关系数为0或-1。一、哈达玛矩阵哈达玛矩阵的行、列都构成正交码组，在正交编码的构造中具有很重要的作用。哈达玛矩阵的构成：2阶哈达玛矩阵4阶哈达玛矩阵…哈达玛矩阵的所有行之间互相正交，所有列之间互相正交。哈达玛矩阵经过行列交换后得到的矩阵仍然正交，沃尔什矩阵可以通过哈达玛矩阵按交变的次数排列顺序构成。例4：3.1.伪随机序列伪随机序列的应用：通信系统的测试、保密通信、扰码等。伪随机序列的产生：m序列、M序列、GOLD序列等。3.1.1.m序列一、m序列的产生1、最长线性反馈移位寄存器序列m序列是最长线

4、性反馈移位寄存器序列的简称，它是由带线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的序列。举例说明：图1A：图1B初始状态：100010001100110011100110111110110111010110110010010100011010100011010110001110010100001000011000可以看到图1A的输出的周期为15，除去全0外，图1A的输出是周期最长的的序列。我们希望尽可能少的级数产生尽可能长的序列。一般说来，一个n级反馈移存器可能产生的最长周期为。反馈电路如何连接才能输出序列最长？是本节要讨论的问题。1、m序列的特征方程

5、移存器的结构用特征方程表示：2、m序列的递推方程3、m序列的母函数5、几个有用的定理用来构造m序列定理一、，其中为次数低于的次数的多项式。证明：得到如下关系：可以看到，的次数小于n。当电路给定后，只取决于初始状态。定理二、一n级线性反馈移位寄存器的相继状态具有周期性，周期为。证明：反馈寄存器状态取决于前一状态，因此只要产生的状态与前面某一时刻相同，则以后的状态肯定是循环的，因此具有周期性。移存器一共有n个，因此只有种组合，因此经过它的周期最大为。而在线性结构中，全0状态的下一状态为0，因此在长周期的序列中，寄存器状态不应该出现全0，因此寄存器

6、状态周期。定理三、若序列具有最长周期，则其特征多项式应为既约多项式。证明：用反证法。若则：且有的次数满足。可以将上述序列看成2个序列的和，因此他们的周期分别为，根据定理二，不是最长序列。定理四、一个线性移位寄存器的特征多项式若为既约的，则由其产生的序列的周期等于使能整除的最小正整数p。证明：经整理后，得到因此，是的因子，即周期为p的序列的f整除能。反之，若能整除，令其商为则因为为既约的，因此序列的长度与初始状态无关，取初始状态为000..1周期为p。1、本原多项式若一个n次多项式满足如下条件：（1）、是既约的（2）、可整除，（3）、除不尽，则

7、称为本原多项式。由本原多项式产生的序列一定是m序列。一、m序列的性质1、均衡性在m序列的一个周期中，“0”“1”的数目基本相等。“1”比“0”多一个。2、游程分布游程：序列中取值相同的那些相继的元素合称为一个“游程”。游程长度：游程中元素的个数。m序列中，长度为1的游程占总游程数的一半；长度为2的游程占总游程的1/4，长度为k的游程占总游程数的。且长度为k的游程中，连0与连1的游程数各占一半。如上例：000111101011001，000111101011001游程总数：k=41；k=31；k=22；k=14游程的分布与随机序列的分布一致。1

8、、移位相加特性一个m序列与其经任意延迟移位产生的另一不同序列模2相加，得到的仍是的某次延迟移位序列，即。如果将m序列的所有移位码组构成一个编码，则该编码一定是线性循