三维空间的向量2011

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1、三维空间的向量平面与直线【内容提示】本章讨论三维空间的向量及其运算——向量加法、数乘向量以及内积，并且利用向量研究平面与直线以及它们之间的位置关系．线性代数的主要研究对象n维向量是从三维向量的概念发展而来，因此，了解直观的三维空间有助于更好地理解抽象的n维空间．本章中三维向量及其运算首先作为一个几何系统提出，经过空间直角坐标系建立向量的坐标后，转化为一个代数系统．这两个系统之间保持着完全的一致性，这一过程再现了人类的认识过程．对一组三维向量位置关系的讨论为下一步研究n维向量组的线性关系提供了直观的背景材料．而平面与直线对研究线性方

2、程组提供了直观背景．第一节三维向量及其线性运算在中学物理中讨论过一种既有大小又有方向的量，称为矢量，例如力、速度、位移等等．在数学中这种量称为向量．物理学中的矢量大多除了大小、方向外，还与起点（或作用点等）有关，而本书中讨论的向量与起点无关，即：大小相等、方向一致的向量被认为是相等的，而无论它的起点在那里，这种向量称为自由向量．通常将向量看作一个有向线段，有向线段的长度表示向量的大小，称为向量的模（或长度），有向线段的方向表示向量的方向．以点A为起点、点B为终点的向量记作，有时也用粗斜体字母表示三维向量，例如a，b，r等等．向量a

3、的模用

4、a

5、表示，

6、

7、=

8、AB

9、（

10、AB

11、表示线段AB的长度）．模为1的向量称为单位向量，模为0的向量称为零向量，通常用o表示，零向量的方向被认为是任意的．如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量共线，向量a与b共线记作a//b．零向量方向任意，因此认为零向量与任何向量共线．如果一组向量可以放到同一个平面上，则称这组向量共面．共线的向量一定共面．一、向量的线性运算ba+b图2a1、向量加法ba+b图1aa，b是两个向量，将向量b的起点放在向量a的终点，以a的起点为起点，b的终点为终点的向量称为向量a与b的和，记作a+b，（见图

12、1）．例如．称这种方法为三角形法．物理学中力的合成、位移的叠加就是向量加法的实际应用．用中学物理学中定义力的合成的平行四边形法也可以计算向量的加法，其结果是一致的．（见图2）2、数乘向量k是个实数，a是个向量，依照下列方法定义的向量称为k与a的数量乘积，记作ka．ka的大小依下列规定：

13、ka

14、=

15、k

16、

17、a

18、；其中

19、ka

20、表示ka的模，

21、k

22、表示k的绝对值，

23、a

24、表示a的模．ka的方向遵循下列规定：若k>0，ka与a方向相同，若k<0，ka与a方向相反．若k=0，依照模与零向量的规定，ka=o．向量加法与数乘向量合称向量的线性运算．

25、a1，a2，…，as是一组向量，k1，k2，…，ks是一组实数，k1a1+k2a2+…+ksas称为向量组a1，a2，…，as的一个线性组合．如果存在一组实数k1，k2，…，ks，使得b=k1a1+k2a2+…+ksas，则称b可以被向量组a1，a2，…，as线性表示或线性表出，其中k1，k2，…，ks称为组合系数．图3不难验证，向量的线性运算满足下列运算法则：（1）向量加法满足交换律，即a+b=b+a；（1）这从图2中即可看出．（2）向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)；（2）三个向量的和向量是以这三个向量为三条

26、棱的平行六面体的体对角线（对顶线），而其中两个向量的和是它们所在的侧面的对角线，再与第三条棱相加即得到体对角线，这与相加的先后顺序无关．（见图3）零向量o在向量加法中有着特殊的地位，即：（3）对于任意向量a，有a+o=a；（3）在三维空间全部向量的范围内，对于每一个向量，都一定存在一个和它大小相等，方向相反的向量，用一个数学表达式来表示，即：（4）对于任意向量a，一定存在一个向量b，使a+b=o；（4）我们称这个向量b为向量a的负向量，用-a表示．（5）对于任意向量a，1a=a；（5）（6）k，l是任意两个实数，(kl)a=k(l

27、a)（6）（7）(k+l)a=ka+la；（7）（8）k(a+b)=ka+kb．（8）这八条运算法则是线性运算最基本的法则．看起来这些法则都是很显然的，有些甚至好象没必要，然而，人们通过长期实践观察，发现这八条法则每一条都是独立的，即其中任何一条都不能用逻辑手段通过其它几条推导出来，但是线性运算的全部性质都可以利用这八条法则推导出来，而如果缺少其中任何一条则有些性质不能通过逻辑推导出来．因此，在线性代数中，这八条法则称为线性运算公理系统，它是线性代数的理论基础．除这八条法则外，线性运算还满足下列几条主要性质：零向量的唯一性——在全

28、部三维向量中，只存在唯一一个零向量．负向量的唯一性——任意向量只有唯一一个负向量．对于任意向量a，0a=o；（9）对于任意实数k，ko=o；（10）对于任意向量a，(-1)a=-a；（11）如果ka=o，那么，k=0或a=o中至少有一个成立（称为消