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1、三維空間概論與多元函數及多元函數之極限與連續子題一:三維空間概論子題二:多元函數子題三:多元函數之極限與連續子題一:三維空間概論子題一:三維空間概論課程內容摘要三維空間中的笛卡耳坐標三維空間中的向量外積(略)三維空間中的直線與曲線(略)速度,加速度及曲率(略)三維空間中的曲面(略)柱面與球面坐標(略)子題一:三維空間概論課程內容摘要三維空間中的笛卡耳坐標三維空間中的向量我們學習微積分，此時將面臨一個轉變。直到現在我們已經廣泛且簡易地討論過所謂的歐氏平面或二度空間。微積分的觀念以引用在單一變數的函數
2、，而其圖形可被畫在平面上。三維空間中的笛卡耳坐標(1)問題呈現在面前，我們想要針對三維空間來探討，甚至n維空間。我們將討論多變數微積分(multiplevariablecalculus)，它用在含有兩個以上變數的函數。所有熟悉的觀念(如極限、導函數、積分)將以較高層次的觀點再探討。三維空間中的笛卡耳坐標(2)首先，考慮三點互相垂直的坐標軸(x-,y-及z-軸)，而且其零點定在一共同點O，稱為原點(Origin)。雖然這些直線可任意定向，我們仍遵照一個標準的規定，可將y-及z-軸視做形成一張紙的平面
3、，其正方向分別代表向右及向上，x-軸垂直於此紙張，且假設正端點指向我們，因此形成一右手系(right-handedsystem)。三維空間中的笛卡耳坐標(3)我們稱它為右手乃是因為右手指由正x-軸向著正y-軸彎曲時，拇指指向正z-軸的方向(圖1)。三維空間中的笛卡耳坐標(4)圖1三個軸決定三個平面，即yz-，xz-及xy-平面，它們將空間分成8個卦限(octants)(圖2)。三維空間中的笛卡耳坐標(5)圖2對空間中每一點，有一有序三元組(x,y,z)與其對應，它的笛卡耳坐標以其三個平面的有向距離
4、表示如下(圖3):三維空間中的笛卡耳坐標(6)圖3在第一卦限內標出各點(此卦限的三個坐標全為正)是相當簡單。在圖4及圖5兩個圖形中，我們說明標出在不同卦限的兩點是較困難的，點P(2,-3,4)及Q(-3,2,-5)。三維空間中的笛卡耳坐標(7)三維空間中的笛卡耳坐標(8)圖5圖4三維空間中的笛卡耳坐標(9)-距離公式-考慮三度空間中兩個點P1(x1,y1,z1)及P2(x2,y2,z2)(x1≠x2,y1≠y2,z1≠z2)，它們可決定其一矩形體(如平行六面體)，其中P1及P2為對角頂點，其邊平行
5、於坐標軸(如圖6)。三維空間中的笛卡耳坐標(10)圖6三維空間中的笛卡耳坐標(11)上圖三角形P1QP2及P1RQ為直角三角形，根據畢氏定理，
6、P1P2
7、2=
8、P1Q
9、2+
10、QP2
11、2且
12、P1Q
13、2=
14、P1R
15、2+
16、RQ
17、2因此，
18、P1P2
19、2=
20、P1Q
21、2+
22、RQ
23、2+
24、QP2
25、2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2三維空間中的笛卡耳坐標(10)圖6三維空間中的笛卡耳坐標(11)上圖三角形P1QP2及P1RQ為直角三角形，根據畢氏定理，
26、P1P2
27、2=
28、P1Q
29、2+
30、QP2
31、2
32、且
33、P1Q
34、2=
35、P1R
36、2+
37、RQ
38、2因此，
39、P1P2
40、2=
41、P1Q
42、2+
43、RQ
44、2+
45、QP2
46、2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2三維空間中的笛卡耳坐標(12)例1.求點P(2,-3,4)及Q(-3,2,-5)之間的距離。解答三維空間中的笛卡耳坐標(13)-球(spheres)及其方程式-根據距離公式我們很容易地得到球的方程式。一球亦指一固定點(球心)等距離(半徑)之所有點所成集合。事實上，若(x,y,z)，為一半徑為r，球心在(h,k,l)之球上，則(請參見圖7)三維空間
47、中的笛卡耳坐標(14)圖7三維空間中的笛卡耳坐標(15)此稱為一球的標準方程式。以展開式表示此方程式，以上公式可寫成相反地，任何具有此形式的方程式之圖形為一球，一點(退化球)或空集合。三維空間中的笛卡耳坐標(16)例2.求方程式x2+y2+z2-10x-8y-12z+68=0之球的球心及半徑，並畫出圖形。解答先利用配方三維空間中的笛卡耳坐標(17)例2.(續)解答三維空間中的笛卡耳坐標(18)例2.(續)解答因此，方程式表示球心在(5,4,6)及半徑為3的一球，其圖形如圖8所示。三維空間中的笛卡耳
48、坐標(19)例2.(續)解答x圖8三維空間中的笛卡耳坐標(20)在例二中經配方，方程式可化為則圖形表一點(5,4,6);若右邊為負的，則圖形將為空集合。三維空間中的笛卡耳坐標(21)另外有一個簡單的公式，依據距離公式可得中點公式(MidpointFormula)。若P1(x1,y1,z1)及P2(x2,y2,z2)表一線段，則中點M(m1,m2,m3)的坐標為三維空間中的笛卡耳坐標(22)例3.求一球的方程式使其直徑二端點為(-1,2,3)及(5,-2,7)(圖9)。解答圖9此球的
