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1、用《几何画板》探究图形性质的不变性2O09年第8期中学数学月刊?31?用《几何画板》探究图形性质的不变性徐祖德(福建省南安国光中学362321)当几个不同对象在某些方面(如特征,属性,关系等)有类同之处,可引导学生合理地联想其他方面也有类同之处,利用变式探索,挖掘,概括,引申获得问题的一般性结果,使特殊问题一般化,零散知识规律化.借助《几何画板》,可以帮助学生发现数学性质和规律,体验"观察一归纳一猜想一验证"的数学过程.问题直线一一2与抛物线.一2相交于A,B两点,求证:0A上oB(图1).思考1.1A,B两点是抛物线.一2z上两点,且QA上QB,问直线的方程一定是—一2吗?分析运用《几何
2、画板》制作该课件时,不能直接作出直线与抛物3_2lD/2.—l?lAoB=90一乡图1线的交点,此时要先度量直线的方程,结合直线与抛物线的方程,求出交点的坐标,再绘制交点.以下作抛物线与直线的交点都要遵循这种作图方法.演示拖动A点,直线0A,0B在改变,容易看出直线AB在不断变化,因此直线AB的方程不一定就是—一2.思考1.2当直线OA,0B变化时,直线AB有什么特点?演示如图2所示,追踪直线,拖动A点,可以观察到直线AB似乎都过一定点.作出直线AB与z轴的交点,度量该点坐标,猜想直线AB过定点(2,O).推论1A,B两点是抛物线.一2z上两点,且0AJ_oB,则直线AB过定点(2,O)
3、(证略).思考2若将该抛物线的方程推广到一般抛物线的方程形式,是否有类似的结论成立?推论2若直线与抛J....32lD—I4一2图2物线.=2相交于A,B两点,且QA上OB,则直线AB过定点(2夕,O).演示如图3,改变的值,尽管抛物线的图象在变化.但当取某个值时,会发现直线AB过一个定点,度量定点的坐标并观察,可猜想出直线AB过定点(2p,O)(证略).思考3若将条件改成直线与抛物线.一2z相交于A,B两点,点P(z.,弘)是抛物线上的一点,且PA上PB,则直线是否还过定点?(1)演示观察如图4,拖动A点,64----2D.??一2(?4图300)直线PA,PB在改变,容易看出直线舳在不
4、断变化,追踪直线AB,可以观察到都过一定点.那么定点的位置与抛物线及P点坐标有什么关联?(2)考察特殊位置P点取通径的端点1(妻,1),经过观察运算,直厶匕线AB过定点(姜,一1),这厶一步对猜想很重要,体现着猜想的一般过程.(3)猜想Jl3.一2lD-J尸(0.56.1.05)-2结合推论1,比较(O,图40)与(2,o),(÷,1)与(,一1),猜想直线AB过定点(zo+2,一0).(4)推理证明详见参考文献[1],此处略.推论3若直线与抛物线.一2相交于A,B两点,点P(z.,.)是抛物线上的一点,且PA上PB,则直线过定点(z.+2,一3,.).思考4若是P^?忌朋一(为定值),直
5、线AB是否还过一定点?演示改变,d的值,尽管抛物线的图象在变化,但当,取某个定值时,追踪直线AB,容易观察到直线船始终经过一个定点.推论4若直线与抛物线一2相交于A,B两点,点P(z.,.)是抛物线上的一点,若直线PA,PlB斜率五P^,志PB存在,且忌P^?足朋一(为定值),则直线AB过定点(券一,一)(证?32?中学数学月刊2OO9年第8期明可参考文献[2]).《几何画板》可以画出符合条件的准确图形,通过"观察一归纳一猜想一证明",有助于引导学生一题多思,一题多变,使知识和方法的适用情境在多媒体的辅助下逐步深化,提高学生的探究水平.参考文献[1]邱继勇.提升"变式教学"理念,培养学生创
6、新能力[J].中学数学教学参考.20O5(7).[2]竺美月.一个定理的猜想和证明[J].福建中学数学.2OO5(4).[3]李平龙.CAI辅助"过程教学"初探[J].中学数学月刊.2O0O(6).取整函数的性质及其应用汤正谊(苏州大学数学科学学院215O06)设是实数,用[z]代表不超过z的最大整数,即[z]≤z<[z]+1.又称z一[z]为z的小数部分,记作{z),即{}一z一[z],所以z一[z]+{z),并且O≤{)<1.有时为了书写简单起见,小数部分就用一个字母符号表示,而不打上花括号.例如:一[]+r,O≤r<1.由[]的定义可知,对于每一个实数z,都有一个确
7、定的数[z]与z相对应,所以3,一[z]是定义在实数集R上的一个函数,这个函数有几种称呼,可称其为高斯函数,方括号函数,或者通俗地就称其为取整函数.下面先介绍取整函数的一些性质,它们在解题中常常被用到.性质1设是任意实数,是整数,则[,z+z]一+[z].证因为[z]≤z<[z]+1,所以+[z]≤+z<+[z]+1.可见,+[z]是不超过+的最大整数,所以[+z]一+[].性质2设<+1,则[z]≤.
