2008级《量子力学试卷 a》答案

《2008级《量子力学试卷 a》答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、《量子力学》试题A答案（闭卷）（电子科学与技术系2008级）姓名班级学号题号12345678910总分得分1、(10分)简述量子力学的5个基本假设[答](1)微观体系状体由波函数描述。波函数满足连续性、有限性和单值性。(2)力学量用厄米算符表示。(3)将体系的状态波函数用算符的本征函数展开则在态中测量力学量得到结果为的几率是,得到结果在范围内的几率是(4)体系的状态波函数满足薛定谔方程：,为体系的哈密顿算符。(5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。2、(10分)分别判断下列三个波函数所描述的状态是否为定态？并说明理由。[答]与

2、时间无关,是定态；，与时间有关,不是定态；7/7，与时间有关,不是定态。3、(10分)已知一质量为m的粒子在一维势场中运动（1）写出该粒子一维薛定谔定态波动方程;（2）求解该粒子的能级;（3）求解该粒子归一化后的波函数.[答]令则有通解为边界条件为：解得，能级波函数为：4、(10分)(1)设为厄米算符，且[]，证明为厄米算符；(2)下列算符中，哪些是线性算符？其中哪些是厄米算符？，，，，，[答](1)因为为厄米算符，对于任意两个波函数，有：，7/7即为厄米算符，得证。(2所以线性算符和厄米算符定义可判断：线性算符：，，厄米算符：，5、(10分)根据测不准关系，估算氢原

3、子的基态能级。[答]由测不准关系对于氢原子,即处于基态时，，所以6、(10分)设氢原子处在基态，已知氢原子基态波函数为，7/7计算(1)库仑势能的平均值;(2)最可几半径。[答](1)解得(2)电子的径向分布函数为对于最可几半径，，并且，解得。7、(10分)设已知在的共同表象中，算符矩阵为,(1)求的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵对角化;(2)求的矩阵表示。7/7[答](1)设的本征函数为，则的本征方程，即，这里，解得：，，，所以的本征值依次为，，。时，，，经整理，同理得，对角化（2）根据,将矩阵形式带入，解得8、(10分)(1)什么是全同性原理，全同性原理对体系

4、波函数有何要求？(2)证明电子具有自旋的实验有哪些？自旋角动量有何特点？[答]（1）全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不引起体系物理状态的改变。描写全同粒子体系的状态波函数只能是对称的或反对称的，而且其对称性（交换对称性）不随时间改变。（2）a、Stern-Gerlach实验，基态（S态）氢原子束，经过非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。b、塞曼效应。c、光谱的精细结构。7/7自旋角动量满足与其他角动量相同的对易关系，且在任意方向投影只能取±/2两个值，自旋量子数s只有一个数值1/2。9、（10分）已知某表象中Hamilton量的矩阵形式和微扰论方法

5、中能级二级近似公式为，（1）讨论微扰法适用的条件，（2）设c<<1，求H本征值的一级近似和二级近似。[答]（1），Hmn要小，即微扰矩阵元要小；

6、En(0)–Em(0)

7、要大，即能级间距要宽。（2），，由非简并微扰公式：能量一级修正：能量二级修正为：10、（10分）（1）证明量子力学体系所有任意态中，基态能量最低，（2）在恒定弱电场ε作用下的一维带电荷e的简谐振子Hamilton量为试参考一维简谐振子的本征函数，提出此体系基态的近似解，并说明理由。[答]（1）设H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，其中设体系的Hamilton量本征值由小到大顺序排列为：能级E

8、0

9、ψ0>,

10、ψ1>,

11、ψ2>,...,

12、ψn>,...则任意叠加态的能量为。7/7（2）试探波函数的选取原则：根据体系Hamilton量的形式和对称性推测合理的试探波函数；试探波函数要满足问题的边界条件；为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；若体系Hamilton量可以分成两部分H=H0+H1，而H0的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。参考：，φ(x)是光滑连续的函数，关于x=点对称；满足边界条件即当

13、x

14、→∞时，φ→0；φ(x)是高斯函数，高斯函数有很好的性

15、质，可作解析积分，且有积分表可查。7/7