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1、《量子力学》试题答案及评分标准一．单项选择题每小题1分，共10分1、A2、B3、D4、C5、A6、D7、C8、A9、D10、D二．填空题每小题1分，共12分r21、光具有粒子性；2、cΦ(r,t)dV,c为比例常数；3、单位时间内区域V内几率的变化等于通过闭合曲面S流进或流出的几率；4μes4、本征值；5、−；6、它们的共同本征态；28h⎛a1⎞⎜⎟⎜a2⎟7、Ψ=；8、以u(x),u(x),L为基矢所张成的无穷维的函数空间；⎜a⎟12⎜3⎟⎜⎟⎝M⎠rr9、±h/2；10、时间；11、H'=eε⋅r=eεrcosθ；12、氢原子在外电场作用下谱线发生分裂的现象；
2、三．判断题每小题2分，共10分1、错，应为20世纪。2、对，为二重简并。3、错，用线性厄密算符表示。4、错，必须是不同本征值。5、错，应是乌伦贝克和哥德斯密脱。四．简答题每小题4分，共8分1、答：线性厄密算符的本征值是实数，且在任意态ϕ(x)上的平均值也是实数。线性厄密算符相应不同本征值的本征函数彼此正交，属于同一本征值的本征函数可以正交化。2、答：由N个全同粒子组成的系统的状态波函数为Ψ(q,q,L,q,L,q,L,q,t)12ijN将交换算符Pˆ作用在系统状态的波函数Ψ上，根据全同性原理可得：ijPˆΨ(q,q,L,q,L,q,L,q,t)=λΨ(q,q,L,
3、q,L,q,L,q,t)ij12ijN12ijN于是：22PˆΨ(q,q,L,q,L,q,L,q,t)=λΨ(q,q,L,q,L,q,L,q,t)ij12ijN12ijN22而Pˆ=ˆI，则λ=1，即：ijPˆΨ(q,q,L,q,L,q,L,q,t)=±Ψ(q,q,L,q,L,q,L,q,t)ij12ijN12ijN所以描写全同粒子系统状态的波函数必须是对称或反对称的。五．证明题每小题5分，共20分1、证明：若Fˆψ=λψ，Fˆ为厄米算符，则证明λ为实数。由厄米算符定义，令φ=ψ，1∗∗∫∫ψFˆψ=(Fˆψ)ψdτ，（1）∗2左=∫ψλψdτ=λ∫ψdτ，2∗∗
4、∗右＝∫λψψdτ=λ∫ψdτ，（2）2∗∴(λ−λ)∫ψdτ=0，（3）2Q∫ψdτ≠0，（4）∗λ=λ,λ为实数。（5）评分说明：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式各1分。2、证明：设有一任意波函数ψ，[]rˆ,pˆψ=rˆpˆψ−pˆrˆψrrrh⎛∂⎞h⎛∂⎞=rˆ⎜rˆ+⎟ψ−⎜rˆ+⎟rˆψ（1）i⎝∂r⎠i⎝∂r⎠h2h∂ψh2hh∂ψ=rˆψ+rˆ−rˆψ−ψ−rˆii∂riii∂r=ihψ（2）由于ψ是任意波函数，所以应有[rˆ,pˆ]=ih。（3）r评分说明：（1）、（2）各2分，（3）式1分。∗∗∗3、证明：由Ψ()x,t=∑an()(
5、)tunx，Ψ(x,t)=∑am(t)um(x)，（1）nm得：F=a*(t)u*(x)Fˆa(t)u(x)dx∫∑mmnnmn=a*()t[u*(x)Fˆu(x)dx]a(t)（2）∑m∫mnnmn*()()=atFat∑mmnnmn评分说明：（1）式2分，（2）式3分。⎛01⎞⎛0−i⎞4、证明：σˆ=⎜⎟，σˆ=⎜⎟（1）x⎜10⎟y⎜i0⎟⎝⎠⎝⎠221⎡⎛01⎞⎛0−i⎞⎤σˆ+=⎢⎜⎜⎟⎟+i⎜⎜⎟⎟⎥4⎣⎝10⎠⎝i0⎠⎦221⎡⎛01⎞⎛01⎞⎛0−i⎞⎛0−i⎞⎛01⎞⎛0−i⎞⎤=⎢⎜⎜⎟⎟+i⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟+i⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟+⎜⎜⎟⎟⎥4
6、⎢⎣⎝10⎠⎝10⎠⎝i0⎠⎝i0⎠⎝10⎠⎝i0⎠⎥⎦=0。（2）2221⎡⎛01⎞⎛0−i⎞⎤σˆ−=⎢⎜⎜⎟⎟−i⎜⎜⎟⎟⎥4⎣⎝10⎠⎝i0⎠⎦221⎡⎛01⎞⎛01⎞⎛0−i⎞⎛0−i⎞⎛01⎞⎛0−i⎞⎤=⎢⎜⎜⎟⎟−i⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟−i⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟+⎜⎜⎟⎟⎥4⎢⎣⎝10⎠⎝10⎠⎝i0⎠⎝i0⎠⎝10⎠⎝i0⎠⎥⎦=0。（3）22即σσ$$==0。+−评分说明：（1）式1分，（2）、（3）式各2分。六．计算题每小题10分，共40分1、解：在球坐标中，梯度坐标为rr∂r1∂r1∂∇=r+θ+ϕ。（1）000∂rr∂θrsinθ∂ϕψ只是r的函数
7、，与θ，ϕ无关，所以ikr()r∂r⎛1⎞e∇ψr=r0ψ=r0⎜ik−⎟，（2）∂r⎝r⎠r−ikr*()r⎛1⎞e∇ψr=−r0⎜ik+⎟，⎝r⎠rrihr*r*rr几率流密度J=()ψ()r∇ψ()r−ψ()r∇ψ()r，则（3）2μrrrih⎛1⎞rhkr0pr0J=⎜−2ik2⎟r0=2=2。（4）2μ⎝r⎠μrμrr所得结果说明ψ表示沿r方向向外传播的球面波。（5）0评分说明：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式各2分。2、解：①Y()θ,ϕ由Y(θ,ϕ)和Y()θ,ϕ组合而成，而Y(θ,ϕ)和Y(θ,ϕ)都是L的本征函数，11101110z2本征
8、值分别为h
