08-09(2)高数a试题解答

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1、中国农业大学2008~2009学年春季学期（2009.６）高等数学A（下）课程考试试题解答一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题),请将合适选项填在括号内．1.函数的全微分【C】．　　　　　　　(A)　；　　　　(B)；(C)　；　　　　　(D)．2.球面在点处的切平面方程是【D】．(A)　；(B)；(C)　；　(D)．3.设区域，二重积分【B】．(A)　；(B)；(C)　；　(D)．4.级数的敛散性为【A】．(A)　条件收敛；(B)绝对收敛；(C)　发散；　(D)其它选项都不对．5.曲线在点处的切线对于轴的倾角为

2、【C】．(A)　；(B)；(C)　；　(D)．二、填空题(满分15分，每小题3分，共5道小题)，请将答案填在横线上．1.=4.52.设是圆周，曲线积分=.3.设可以展开为正弦级数，此正弦级数在处收敛于1.解由于是的连续点，则的正弦级数在收敛于．4.微分方程的通解为.5.函数在点处的梯度为.三．（满分10分）设，求和（其中具有二阶连续偏导数）.解四.（满分10分）计算曲线积分，其中为圆周的正向.解，，由格林公式，得-.五．（满分10分）试将函数展成的幂级数，（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。解：因为则，将上式两端逐项积

3、分，得5六．（满分12分）计算曲面积分，其中是上半球面的上侧.解添加辅助曲面：取下侧，使构成封闭曲面，记所围成的空间闭区域为，由高斯公式,得，，七.（满分12分）设是一个连续函数，且满足，求。解由已知条件得微分方程初值问题方程的通解是5由初值条件得所以八.（满分10分）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费用（万元）有如下关系：，（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；（2）如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略。解（1）设，（或）令

4、（或）解得为唯一的驻点。（或）（万元）。当电台广告费用与报纸广告费用分别为0.75万元和1.25万元时，最大利润为39.25（万元），此时为最佳广告策略。（2）求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件下，的最大值。令，由解得，这是唯一的驻点，又由题意一定存在最大值，故5（万元）为最大值。九.（满分6分）设在内有连续二阶导数，，且二元函数满足求.解（1）设，由复合函数求导法则同理代入方程有又，于是(2)解初值问题这是可降阶的二阶线性变系数微分方程.方程两边乘以并积分，利用初始条件得，所以，（3）由所以，5