中值定理习题(参考)

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1、习题课一、本章要点一、中值定理二、泰勒公式三、洛必达法则四、曲线形态的讨论五、函数的最大值与最小值六、曲率一、中值定理1.罗尔定理定理设fxCabDab()∈[,,]∩(),且fafb()=(),则存在ξ∈(ab,,)使得f′(ξ)=0.注罗尔定理主要应用于讨论yC导函数的零点。y=f(x)BAoabξx2.拉格朗日中值定理设fxCabDab()∈[,,]∩(),则存在ξ∈(ab,,)使得fb()−fa()f′()ξ=,ba−y=f(x)yy=ϕ(x)oabξx3.柯西中值定理设fxgxCabDab(),()∈[,]∩(,,)gx′()≠0,那么至

2、少存在一点ξ∈(ab,)，使得fbfa()−()f′()ξ=.gbga()−()g′()ξ二、泰勒公式定理如果函数f(x)在含x0的某个开区间(ab,)内具有直到n+1阶导数，则对于xa∈(,b)，有fx′′(0)2fxfx()=+()000fxxx′()(−)+()xx−+0"2()nn()+1fx()0nnf()ξ+1+−()xx00+−()xx.nn!1()+!带有Peano型余项的泰勒展开式定理如果函数f(x)在含有x0的开区间(ab,)内有n阶连续导数，则对于xa∈(,,b)有fx′′(0)2fxfx()=+()000fxxx′()(−)

3、+()xx−+0"2()nfx()0nn+−()()xx00+oxx()−.n!三、洛必达法则0∞基本类型,.0∞00∞变型0,⋅∞∞−∞,0,1,.∞f(xf)′()x法则：lim=lim.xxgx()gx′()注1.只有当等式右边的极限存在时，才能使用该法则；2.在求极限过程中，可能要多次使用该法则；3.在使用过程中，要进行适当的简化。四、曲线形态的讨论：1.单调性若函数yfx=()的导函数fx′()≥0且在任何一个有限区间内最多只有有限多个零点，则f(x)单调上升；若函数yfx=()的导函数fx′()≤0且在任何一个有限区间内最多只有有限多个

4、零点，则f(x)单调下降。2.凹凸性若函数yfx=()在区间内满足：I∀xxI,,∈12fx⎡⎤⎣⎦(11−+<λλ)12x(−λ)f(x1)+λf(x2),则称函数f(x)为凸函数，相应的曲线为下凸的；若函数f()x在区间I上满足：∀xxI12,,∈fx⎡⎤⎣⎦(11−+>λλ)12x(−λ)f(x1)+λf(x2),(01<λ<),则称函数f(x)为凹函数，相应的曲线为上凸的。yyf=(x)yf⎡⎣(1−+λλ)xx12⎤⎦(1−+λλ)()fx12f(x)(1−+λλ)f(x12)f(x)f⎡⎣(1−+λλ)xx12⎤⎦ox2(1−+λ)x1

5、2λxx1xox2(1−+λ)x12λxx1x凸函数与下凸曲线凹函数与上凸曲线凹凸函数的判定方法：⑴若函数yfx=()的导函数fx′()单调上升，则fx()是凸函数；若函数yfx=()的导函数fx′()单调下降，则fx()是凹函数；⑵若函数yfx=()二阶可导，且yx′′()>0,则，fx()是凸函数；若yx′′()<0,则fx()是凹函数。若函数yfx=()的图形在点(x,f(x))的两侧有不00同的凹凸性，则称该点为图形的拐点。y(xfx00,())yfx=()ox3.极值若函数yfx=()在点x0满足：存在x0的邻域Ux(),0当有xUx∈(

6、),0f(x)≤f(x0),则fx()0为fx()的极大值；若f(x)≥f(x0),则fx()为fx()的极小值。0yyfx=()x1ox2x3x4x5x极值存在的条件⑴若函数在点x0处取得极值，且fx′(0)存在，则fx′(0)=0.⑵设函数在x0处连续，若函数的导数fx′()在点x0的两侧有不同的符号，则fx(0)为fx()的极值。若fx′()由+→−，则fx(0)为极大值；若fx′()由−→+，则fx()为极小值。0yy′由+→−yfx=()oxx0fx()0为极大值yy′由+→−yy′由−→+yfx=()yfx=()ox0xoxx0fx()

7、为极大值fx(0)为极小值0⑶若函数fx()在点x0处满足：fx′′(00)=0,fx′()≠0,则fx()为fx()的极值。若fx′′()>0,则fx()为000极小值；若fx′′(00)<0,则fx()为极大值。五、函数的最大值和最小值设fxCab()∈[,,]记最大值和最小值分别为M,,m再记fx′()的零点和不可导点为xx,,.,"x则12rM=max{fxfx(12),(),",fxfafb(r),(),()},mf=min{}()()x12,fxf,",()()()xr,fa,fb.渐进线的求法：⑴水平渐进线若函数fx()满足limfx

8、a()==lim(fxa(),limfxa()=),xx→∞→+∞x→−∞则，函数fx()的曲线有水平渐进线ya=.⑵垂直