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《微分中值定理习题参考解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、习题3-1微分中值定理1、不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。解由于f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(1)=f(2)=0,所以由罗尔定理可知,存在x1Î(1,2),使f¢(x1)=0.同理存在x2Î(2,3),使f¢(x2)=0;存在x3Î(3,4),使f¢(x3)=0.显然x1、x2、x3都是方程f¢(x)=0的根.注意到方程f¢(x)=0是三次方程,它至多能有三个实根,现已发现它的三个实根,故它们也就是方程f¢(x)=0的全部根.2、证明恒等式：证明设f(x)=arcsinx+arccosx.因为,所以f(x)ºC,其中C是一常数
2、.因此,即.3、若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根。证明设F(x)=a0xn+a1xn-1+×××+an-1x,由于F(x)在[0,x0]上连续,在(0,x0)内可导,且F(0)=F(x0)=0,根据罗尔定理,至少存在一点xÎ(0,x0),使F¢(x)=0,即方程a0nxn-1+a1(n-1)xn-2+×××+an-1=0必有一个小于x0的正根.4、若函数在内具有二阶导数，且其中，证明在内至少有一点使得证明由于f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,且f(x1)=f(x2),根据罗尔定理,至少存在一点x1Î(x1,x2),使f¢(x1)=0.同理存在一点
3、x2Î(x2,x3),使f¢(x2)=0.又由于f¢(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,且f¢(x1)=f¢(x2)=0,根据罗尔定理,至少存在一点xÎ(x1,x2)Ì(x1,x3),使f¢¢(x)=0.5、证明下列不等式：证明设f(x)=arctanx,则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理,存在xÎ(a,b),使f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a),即,所以,即
4、arctana-arctanb
5、£
6、a-b
7、.习题3—2洛必达法则1、用洛必达法则求下列极限：12（1）；（2）（）；解(1).(2)（3）；（4）；解(3).(4
8、)另解(说明:灵活使用等价替换定理，常会比只用罗比达法则更方便）（5）；（6）；解(5).(6)因为,而,所以.另解：中间过程用等价替换定理更方便中间过程也可用重要极限计算。上述两种计算方法显然都比洛比达法则更方便,所以,具体计算中应使用哪种方法,应具体问题具体分析.12（7）；（8）.解(7)因为,而,所以.注意:中间过程用等价替换定理更好！如下述解答过程(8)因为,而,所以.习题3—3泰勒公式1、按的幂展开多项式.解设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4.因为f(4)=-56,f¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)
9、x=4=21,f¢¢(4)=(12x2-30x+2)
10、
11、x=4=74,f¢¢¢(4)=(24x-30)
12、x=4=66,f(4)(4)=24,所以=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4.2、求函数按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式解因为f¢(x)=x-1,f¢¢(x)=(-1)x-2，f¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3,×××,;(k=1,2,×××,n+1),12所以。另解由144页公式得。习题3—4函数的单调性与曲线的凹凸性1、确定下列函数的单调区间：（1）；解(1)y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0,令y¢=0得驻点x1=-1,x2=3.列表得x(-¥,-1)-1(
13、-1,3)3(3,+¥)y¢+0-0+y↗↘↗可见函数在(-¥,-1]和[3,+¥)内单调增加,在[-1,3]内单调减少.(2)().解(2),驻点为,不可导点为,x3=a.列表得xa(a,+¥)y¢+不存在+0-不存在+y↗↗↘↗可见函数在,,(a,+¥)内单调增加,在内单调减少.2、证明下列不等式：（1）当时，；证明(1)设,则f(x)在[0,+¥)内是连续的.因为12,所以f(x)在(0,+¥)内是单调增加的,从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即,也就是.（2）当时，.证明设f(x)=sinx+tanx-2x,则f(x)在内连续,f¢(x)=cosx+sec2x-2.因
14、为在内cosx-1<0,cos2x-1<0,-cosx<0,所以f¢(x)>0,从而f(x)在内单调增加,因此当时,f(x)>f(0)=0,即sinx+tanx-2x>0,也就是sinx+tanx>2x.3、求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：（1）；（2）；解(1)y¢=3x2-10x+3,y¢¢=6x-10.令y¢¢=0,得.因为当时,y¢¢<0;当时,y¢¢>0,所以曲线在内是凸的,在内是凹的,拐点为.(2),.令y¢¢=0,得x1=-1,x2=1.列表得x(-¥,-1)-
