微分中值定理与导数应用习题解答

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1、第3章微分中值定理与导数应用习题解答第3章微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1)验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间上的正确性.解因为y=lnsinx在区间上连续,在内可导,且,所以由罗尔定理知,至少存在一点,使得y¢(x)=cotx=0.由y¢(x)=cotx=0得，因此确有,使y¢(x)=cotx=0.(2)验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间[0,1]上的正确性.解因为y=4x3-5x2+x-2在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一

2、点xÎ(0,1),使.由y¢(x)=12x2-10x+1=0得.因此确有,使.(3)对函数f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间上验证柯西中值定理的正确性.解因为f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间上连续,在可导,且F¢(x)=1-sinx在内不为0,所以由柯西中值定理知至少存在一点,使得.令,即.化简得.易证,所以在内有解,即确实存在,使得.2.证明题:(1)证明恒等式:(-1£x£1).7第3章微分中值定理与导数应用习题解答证明设f(x)=arcsinx+arccosx.因为,所以f(x)ºC,其

3、中C是一常数.因此,即.(2)若方程a0xn+a1xn-1+×××+an-1x=0有一个正根x0,证明方程a0nxn-1+a1(n-1)xn-2+×××+an-1=0必有一个小于x0的正根.证明设F(x)=a0xn+a1xn-1+×××+an-1x,由于F(x)在[0,x0]上连续,在(0,x0)内可导,且F(0)=F(x0)=0,根据罗尔定理,至少存在一点xÎ(0,x0),使F¢(x)=0,即方程a0nxn-1+a1(n-1)xn-2+×××+an-1=0必有一个小于x0的正根.(3)若函数f(x)在(a,b)内具有二阶

4、导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a

5、4)设a>b>0,n>1,证明:nbn-1(a-b)

6、.7第3章微分中值定理与导数应用习题解答(4).(5)(注:当x®0时,).(6).(7)解法1因为,而,所以.解法2(8)因为,而，所以.4.验证下列各题:(1)验证极限存在,但不能用洛必达法则得出.解,极限是存在的.但不存在,不能用洛必达法则.7第3章微分中值定理与导数应用习题解答(2)验证极限存在,但不能用洛必达法则得出.解,极限是存在的.但不存在,不能用洛必达法则.5.将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式(1)求函数f(x)=lnx按(x-2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.解因为f¢(x)=x

7、-1,f¢¢(x)=(-1)x-2,f¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3,×××,;(k=1,2,×××,n+1)所以.(2)求函数f(x)=xex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.解因为f¢(x)=ex+xex,f¢¢(x)=ex+ex+xex=2ex+xex,f¢¢¢(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex,×××,f(n)(x)=nex+xex;f(k)(0)=k(k=1,2,×××,n),所以.6.确定下列函数的单调区间:(1)y=2x3-6x2-18x-7;(2);解(1)y¢=6x2-12x-18=6

8、(x-3)(x+1)=0,令y¢=0得驻点x1=-1,x2=3.列表得x(-¥,-1)-1(-1,3)3(3,+¥)y¢+0-0+y↗↘↗可见函数在(-¥,-1]和[3,+¥)内单调增加,在[-1,3]内单调减少.7第3章微分中值定理与导数应用习题解答(2),令y¢=0得驻点,x2=1,不可导点为x=0