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《3章微分中值定理与导数应用习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第3章微分中值定理与导数应用习题解答1•验证中值定理的正确性（1）验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间［呂弓］上的止确性.66解因为尸Insinx在区间［纟,予上连续，在（彳，普）内可导，且y《）5寻），所以由罗尔定理知,至少存在一点兵《，甞），使得）"®=cot$0.由y（x）=cotx=0得号《，普），因此确有，牛华，普），使胪（鉀cot$0.（2）验证拉格朗H中值定理对函数_y=4?-5x2+x-2在区间［0,1］上的正确性.解因为y=4x3-5xhx-2在区间［0,1］上连续，在（0,1）内可导，由拉
2、格朗H中值定理知，至少存在一点§丘（0,1）,使畑=吧一¥叭0.1—0rhy（x）=12x-2-10A-+l=0得x=5jj^e（0,1）.因此确有，芒孚和,I）,使掩）川!-严）.121—0（3）对函数f（x）=sinx及F（x）=x+cosx在区间［0,y］上验证柯西中值定理的正确性.解因为/（x）=sinx及FM=x+cosx在区间［0,乡］上连续，在（0,号）可导,且F（x）=l-sinx在（0,号）内不为0,所以山柯西中值定理知至少存在一点兵（0,号），使得朋）70）_啓）F（今）-F（0）FO令/严）
3、_/伶）一/（°）,即cosx二2尸'（兀）尸（艺）_/7（0）1-sinx龙一2化简得血*不冷7易证°＜不冷所以血*芮冷T在（。，劄内有解,即确实存在兵（0,今），使得,Af）-/（0）F（
4、）-F（0）F（n2.证明题：(1)证明恒等式:arcsinx+arccosx=y(-1X1).证明设fM=arcsinx+arccosx.因为所以/⑴三C其中C是一常数・因此/(x)=/(0)•/i,=arCSinX+arCC0SX=2arcsinx+arccosx=-.八、insinx(1)lim；x->-(兀一2兀尸
5、2(2)hmX，，t~aflix”_a"(1)若方程a^n+cixn~}+…+a”_]X=0有一个正根兀°,证明方程](/7-1)xl~2+…+心_]=0必有一个小于Xo的正根.证明设F(x)=aoxn^-a[xn~]+---+如兀,由于F(x)在[0,必]上连续，在(0,x°)内可导，且F(O)=F(xo)=O,根据罗尔定理，至少存在一点矢(0,也),使F7^)=0,即方程aonx1-1+a(n-1)xl~2+…+an-=0必有一个小于x()的正根.(2)若函数沧)在(G,〃)内具有二阶导数,Hf(xi)
6、=f(X2)=f(X3)9其中。555<仇证明：在仏兀3)内至少有一点6使得厂(鉀0.证明由于沧)在比,切上连续,在(心,比)内可导,冃f(X^X2),根据罗尔定理，至少存在一点晁仏尢2),使广©)=0.同理存在一点送见心),使广©M).又由于厂⑴在生]上连续,在©,昴)内可导，且厂©)=r©)=o,根据罗尔定理，至少存在_点gw©,妙=(兀1,兀3),使/"(§)=0.(3)设a>b>0,n>,证明:nhn~1{a-b)7、)内可导,由拉格朗日中值定理,存在矢仇a),使f(a)-f(b)=『©(d),即a-bn=n^na-b).因为nbn~[(a-b)()(6)lim<2_]X-)⑻limxsinr;.v->+()Insinx=limx->—Or—2x)2A->—221-CSC2X_lim25一2x)・(-2)4(j-22cotx(2)lim—血m-n—Cl
8、nlntan7兀tan7xS6C77tan2x72x(3)lim=limldr*zx=-lim=-lim—=1.2+o]ntan2x3+01「“2°o2x^tan7x2x^lxsec2x・2tan2x(4)lim—;yt兰tan3x2/八..tanx.・sec2x1..cos23x(4)lim=lim=—limyt兰tan3xxt兰seer3x・33心兰cos2x2221..2cos3x(-sin3x)-3=—lim3江JXT—22cosx(-sinx)cos3x.・-3sin3xo=一lim=一lim=3•(5
9、)limx%"=
10、im—.v->0xt()1=lim—=lim—=+oc(注：当x—>0时，/二/->+<»f/->+<»1丄T+oo).Xx2(6)limX^x2-1X-{)=limXTlJT一1XT12x(7)解法1因为lim(l+-)rXX—>8xln(l+—)=limex—limX-»OOlimX-»QOta1+—兀1..axva=lim=lim—=a,x+a2
