第三章微分中值定理习题参考解答[1]

《第三章微分中值定理习题参考解答[1]》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、习题3-1微分中值定理1、不用求出函数/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)(%-4)的导数,说明方程/'(x)=OW儿个实根，并指出它们所在的区间。解由于几X)在［1,2］上连续，在(1,2)内可导,且夬1网2)=0,所以由罗尔定理可知,存在张(1,2),使广©)=()•同理存在込(2,3),使广©)=0；存在証(3,4),使•厂©)=()•显然$、虽、%都是方程广(0=0的根.注意到方程ff(x)=0是三次方程，它至多能有三个实根，现己发现它的三个实根,故它们也就是方程广(兀)=0的全部根.浜证明恒等式：arcsinx+a

2、rccosx=-,(-l

3、点孔(0,刈)，使F®=0,即方程a()nxn~ai(n-1)xn~2+…+a“_i=0必有一个小于x()的正根.4、若函数f(x)：(ci,b)内具有二阶导数,且f(兀J=f(兀2)=f(九3)其中a<“vvX?

4、在一点弘©,§2)U(X"3),使厂@)=0.5、证明下列不等式：arctanr/-arctan/?

5、TOSinxxtOcosx⑵聞—竺;*x—mx-ax—mnxnanvIntan7x⑶limxto*intan2x解(3).(4)limxcot2x:A->0Intan7xlim=limx->oTntan2x心(广tan7rS6C7vtan2jt-sec27x7v2x-sec2lx./人=—lim；——=—lim——=1].se&2x・22x^0+tan7兀•sec"2x2x->(r7x•sec2xtan2x__£；二6tan2x；第6sec22尢•22另解limxcot2x=lim=]im2L=1(说明:灵活使用等价替换定理，常

6、会比只用XT”.丫》tan2x・yt"2x2(4)limxcot2x=limxtO.-—=lim——4罗比达法则更方便)21⑸lim(—);宀x2-1x-1/2(6)lim(l+—)v;X*x⑹因为lim(1+—)v=limex,n(1+x)X->8XXT8ln(l+—)而limxln(l+—)=lim-^―AT8兀XT81=liml+纟X2Xlimax=limy=6/xTocx+dx*1xm—a"(2)lim———-(心0)；z疋-axln(l+-)exXT8XTOOXX—>00/z、小间过程也可用重要极限计算limxln[

7、a1+—=limInia1+—XT81兀丿XT8(X)X=ea=aQ上述两种计X—aaln(l+-)另解：屮间过程用等价替换定理更方便limxln(l+-)=lim—厂匚a=lim^-=aJVT81算方法显然都比洛比达法则更方便，所以，具体计算小应使用哪种方法，应具体问题具体分析.(7)limxsinx；(8)lim—・x"A->0+X>丄解(7)因为limxsinv=lim^sinv,nx,而limsinxlnx=lim』"-=limXT+OXT+Ox->+0x-^+OcSCXx->+0—CSCX-COtXXT+Oxcos

8、x所以limxsinv=limesinxlnx=^°=l.XT+0XT+0注意:中间过程用等价替换定理更好！如卜•述解答过程=一limsinx=0-x•escxxto+..Inx..v-..tanx-lim=lim=lim=limXTO十escX工T0+—CSC