各种中值定理习题

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1、题目1证明题一般设f(x)在[a,b]上正值，连续，则在(a,b)内至少存在一点，b1b使af(x)dxf(x)dxaf(x)dx。2解答_xb证：令F(x)f(t)dtf(t)dtax由于x[a,b]时，f(x)0bF(a)f(t)dt0abF(b)f(t)dt0a由根的存在性定理，存在一点(a,b)使F()0b即f(t)dtf(t)dtabb又Qaf(t)dtaf(x)dxf(x)dxbf(x)dxf(x)dxa2f(x)dxa从而原式成立。题目2证明题一般

2、设f(x)在[a,b]上可导,且f(x)M,f(a)0,bM2证明:f(x)dx(ba)。a2解答_证明:由假设可知,x(a,b)f(x)在[a,x]上满足微分中值定理,则f(x)f(x)f(a)f()(xa)(a,x)又f(x)M,x(a,b)f(x)M(xa)由定积分的比较定理,有bbM2f(x)dxM(xa)dx(ba)。aa2设f(x)在[0,2a]，(a0)上连续，2aa证明：f(x)dx[f(x)f(2ax)]dx。题目16证明题00解答_2aa2a由于0f(x)dx

3、0f(x)dxaf(x)dx令x2at，则dxdt2aaaf(x)dxf(x)dxf(2at)dt000a[f(x)f(2ax)]dx。0题目5证明题设k为正整数，证明：2(1)coskxdx；2(2)sinkxdx。解答_2(1)coskxdx1cos2kxdx211[xsin2kx]24k(0)(0)22。2(2)sinkxdx1cos2kxdx211[xsin2kx]24k(0)(0)22。题目1

4、8证明题一般设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数.且f(1)f(0)1.12试证:[f(x)]dx1。0解答_22证明:[f(x)1][f(x)]2f(x)102[f(x)]2f(x)111120[f(x)]dx20f(x)dx0dx12f(x)102[f(1)f(0)]11。题目3证明题若函数f(x)在区间[a,b]上连续，bb则f(x)dx(ba)f[a(ba)x]dx。aa解答_作代换xa(ba)t,则dx(ba)dt且xb时t1xa时t0bf(x

5、)dxa1f[a(ba)t](ba)dt011f[a(ba)t]dtba011f[a(ba)x]dx。ba0题目21证明题一般设函数f(x)在[0,1]上连续,12证明：2f(cosx)dxf(cosx)dx。040解答_证:显然f(cosx)是以为周期的函数2f(cosx)dx02f(cosx)dx02[2f(cosx)dxf(cosx)dx]02在后一积分中,令xt则f(cosx)dx20f(cos(t))dt22f(cost)dt2f(cosx)

6、dx002f(cosx)dx02[2f(cosx)dx2f(cosx)dx]0042f(cosx)dx012得证2f(cosx)dxf(cosx)dx。040题目22证明题一般x若函数f(x)在R连续，且f(x)f(t)dt，则f(x)0。a解答_f(x)在R连续f(x)在R可导x1且xR有f(x)(f(t)dt)f(x)af(x)f(x)0x考虑函数p(x)f(x)e.xRxxxp(x)f(x)ef(x)e[f(x)f(x)]e0p(x)c(常数)xxc

7、f(x)ef(x)cea已知f(a)f(t)dt0axf(a)ce0c0f(x)0xR。题目23证明题一般设f(x)是以为周期的连续函数，2证明：(sinxx)f(x)dx(2x)f(x)dx。00解答_证明：由于2(sinxx)f(x)dx02(sinxx)f(x)dx(sintt)f(t)dt0令tx，则2(sintt)f(t)dt[(sin(x)x]f(x)dx0(xsinx)f(x)dx02(sinxx)f(x)dx0

8、(sinxx)f(x)dx(xsinx)f(x)dx00(2x