中值定理习题(1)

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1、第五章中值定理习题课一、主要内容1、中值定理从极值点处的导数性质出发，依次得到Fermat定理、Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，应该准确掌握各个定理的内容，掌握定理证明的思想，掌握定理的几何意义，熟练掌握定理的应用。2、Taylor公式从微分的定义或中值定理出发，从近似计算的角度，得到了函数的高阶展开式，掌握常用的函数的Taylor公式，熟练掌握各种Taylor展开式的计算方法，掌握利用Taylor展开式计算极限的技巧。注、从定理的结论形式上看，中值定理和Taylor公式都能建立函数

2、和导数的关系，但是，二者在使用中是有差别的。中值定理只是建立了相差一阶导数的相邻函数的关系式，而且结论形式中，原函数的点可以是任意的（涉及到两个原函数的点，这两个点都可以是任意的），涉及到导数的点不具备任意性，它依赖于原函数中取定的两个点，因此，通常用于利用导函数的性质，研究原函数的性质，当然，若对相应的导函数用中值定理，可以用高阶导数的性质研究低一阶的导函数的性质；而Taylor公式中，展开点是可以任意选取的，因而，可以用于研究所涉及到的中间各阶导数的性质，特别是用两头控制中间的中间导数估计的问题。3、L

3、’Hospital法则这是极限计算中一个非常重要的法则，也是一个非常高级的法则，利用这一法则，使得一类非常重要，也非常复杂的极限的计算变得非常简单，因此，必须掌握法则的灵活的应用。4、应用利用上述理论，解决函数研究中的如零点问题、介值问题、中值问题、极值问题、最值问题、导数估计、单调性问题、凸性问题、不等式问题、函数展开、极限计算等各种关键而又重要的问题。二、典型例题1、零点问题（介值问题、中值问题）这里主要指涉及到导函数的零点问题，因而，处理的基本工具就是Fermat定理、Rolle定理和中值定理。但是，

4、特别要注意的是，几个定理的根本的出发点就是极值点处的导数性质，这是处理这类问题的基本思想，因此，在涉及到这类问题时，最简便的手段是直接利用相应的定理，但是当定理不能直接应用时，就要考虑最基本的思想了。例1（Rolle定理的推广形式）设在可导，67，证明：存在，使得。分析：例1的结论是是导函数的零点问题，是Rolle定理的推广形式，也称为推广的Rolle定理，因此，考虑用Rolle定理来证明，关键是寻找两个点和，使得，很显然，必须借助某一个共同的值，使得对应的两点的函数值与其相等，我们知道，使数值和函数值相等

5、的方法途径有连续函数的介值定理，因此，这个数值必须选择恰当，处在两个函数值之间，因此，必须选定一个函数值，再借助所给的极限条件来完成，证明过程就是将上述思想具体化。证明：设，则存在，使得。不妨设。（注、选定了一个函数值）任取，（选定介值）注意到利用极限的保序性，存在，使得由连续函数的介值定理，存在，使得。在上用Rolle定理即可。注、也可以用Rolle定理的思想证明，即确定内部极值点。事实上，设，则存在，使得。不妨设。利用极限的保序性，则存在和，使得因为，因此，存在最大值，即存在，使得，显然，，因而，，故，

6、。例2设、在上可导，且，67，，证明存在，使得。分析导函数的零点问题，最直接的处理工具就是Rolle定理，因此，需要构造函数，使得点是其导函数的零点，显然，这个函数很容易构造，剩下的工作就是验证Rolle定理或其推广定理的条件满足。证明：令，则由极限的夹逼定理，，因而，，由Rolle定理的推广形式，得存在，使得，即。注、当取一些特定的g（x）时，可以得到一些特殊的结论，如若取，则结论形式变为：存在，使得；再如，取，则结论形式变为：存在，使得。因此，对一些常用的定义、定理或结论，不仅要熟记，而且应该了解它们的

7、一些变形和推广形式。例3设在非负且有直到3阶的连续导数，方程＝0在有两个不同的实根，证明存在，使得。分析67从结论形式看，属于导函数的零点问题，最直接的处理方法就是对二阶导函数利用Rolle定理，因而，必须寻求两个使得二阶导数相等的点，为此，只需寻找3个使得一阶导数相等的点，或寻找4个使函数值相等的点，这就是证明题目的出发点。在寻找这些点时，要注意一些特殊点处的性质，如函数的零点、一阶导函数的零点（驻点），而由Fermat定理，可导极值点一定是驻点，因此，确定极值点也是确定一阶导函数零点的方法。证明：设且使

8、得，则由Rolle定理，存在，使得。（分析显然，剩下的两个一阶导数的零点要从极值点中寻找。）由于函数非负，因而，和是函数的两个极小值点，故，再次用Rolle定理，则存在，，使得因此，存在，使得。例4设f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可微且f(a)=f(b)，证明：存在，使得。分析：仍是方程的根的问题或函数的零点问题，特别方程中含有导数项，因而，首要的工具应是Rolle定理，使其转化为导函数的根的问题。关键的