湖北高考数列命题热点探析

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1、湖北高考数列命题热点探析宜昌市夷陵中学尹国江湖北省从2004年开始高考数学实行自主命题，五年来不仅顺利实现了从国家卷统一命题到地方卷自主命题的平稳过渡，而且逐渐形成了自己的命题风格，现结合2004～2008湖北高考数学试题，分析湖北自主命题后数列部分的命题热点，以供复习参考。年份题号等差等比通项、关系递推关系数列求和数学归纳法不等式恒成立中间数列知识交汇2008文21√√√不等式理14√函数理15√√理21√√√不等式2007文20√√√理6√√充要条件理8√√理21√√√2006理17文20√√√√√√函数不等式理15√√2005文19√√√√√理15√√√理22√√√√不等式2004文9

2、理8√√√√理22√√√√不等式一、历年数列考点扫描文科理科考查比重差异明显，文科每年只有一道数列题，除2004年文科数列题是一道选择题外，其余四年均为一道解答题，多为中档题，但今年文科数列题为压轴题。理科前三年均为“一小一大”，去年和今年都是“两小一大”。文科试卷侧重于考查常用的推理方法和数值的计算，理科试卷则注重考查数学推理和理性思维。突出对主干知识和思想方法的考查，题型稳定难度适宜。已初步形成在知识网络的交汇点处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内命题的独特风格。二、08年数列真题赏析理科数学近两年数列考查力度加大，2008年是两道选择题和一道解答题，共24分。两道题是与函数、不等

3、式结合的综合性问题，虽入手容易，但要想全面解决则需要扎实的基本功、严谨的思维和综合分析问题的能力。例1.（湖北2008理14）已知函数,等差数列的公差为.若,则.考点：等差数列的概念与性质。6答案：－6评析：今年将等差数列的性质融入指数函数和对数函数的背景下考查，体现了湖北高考以基础知识作为命题载体，在知识网络的交汇处设计考题的风格。例2.（湖北2008理15）观察下列等式：……………………………………可以推测，当≥2（）时，，.考点：从特殊到一般的观察归纳能力，合情推理能力和正确理解抽象数学符号语言的能力。答案：，评析：本题是一组前n个正整数的次幂的和，通过观察前6个等式的系数规律，得出各

4、项系数的一般性结论。立意新颖，背景深刻，它源于雅各·伯努利（JacobBernouli）数，是一道渗透新课程改革理念的创新型问题。无独有偶，湖北2006理科15题是将杨辉三角中的每一个数都换成，从而得到莱布尼茨三角形，并以此命题。毋庸置疑，湖北卷的命题背景和切入点都是非常讲究的。例3.（湖北2008理21）已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设,为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有6?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.考点：通过等比数列的定义、数列求和、不等式恒成立等问题

5、，考查分类讨论思想、函数思想和综合分析问题的能力、推理论证的能力。答案：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即矛盾.所以不是等比数列.(Ⅱ)解：因为又所以当，时，此时不是等比数列；当时，由上可知，∴().故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当，时，不满足题目要求.∴，故知，于是可得.要使对任意正整数成立，即对恒成立，即①令则当为正奇数时，；当为正偶数时，∴的最大值为，的最大值为，于是，由①式得当时，由不存在实数满足题目要求；当时存在实数，使得对任意正整数都有且的取值范围是。评析：湖北命题已经不再刻意追求形式的新颖，而是淡化特技，注重通性通法的考查，突出对

6、主体知识的考查，不回避学生熟悉的问题，引导高中教学理性回归课本，注重基础。本题不难从2000年全国卷（当年湖北使用）的理科第20题中找到影子：(Ⅰ)已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；(Ⅱ)设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．6针对文科生与理科生对相同知识点的不同要求和思维的差异，将理科第21题改变设问后作为今年文科第21题，设问更加具体，减少了参数，没有分类讨论。合理调控了文科、理科的区分度，是不错的文理姊妹题。三、数列命题热点例析湖北高考在自主命题期间除2006年外，每年的压轴题都是数列综合题，都以数列与函数、不等式等综合问题的形式出现。常见考点有：①等差等比数

7、列的概念与性质；②与关系；③数列求和；④数学归纳法证明不等式；⑤递推关系；⑥相关数列等。例4.（湖北2006理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使对所有都成立的最小正整数；考点：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力答案：解：（Ⅰ）设这二次函数,则