合工大高等数学a上习题册

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1、班级姓名学号习题1−1函数的概念具有某种特性的函数初等函数两个常用不等式⎧2,0+xx≤,1．设函数fx()=⎨，求（1）f(1)−，f(0)，f(1)；x⎩2,x>0,f()(Δ−xf0)f()(−Δ−xf0)（2），（Δx>0）．ΔxΔx122．已知f()=++xx1，求f()x．x3．证明：f()2sinxx=+x在(,−∞+∞)内是严格递增函数．1班级姓名学号4．设f()x在[,−aa]上是奇函数，证明：若f()x在[0,]a上递增，则f()x在[,−a0]上也递增．11nn+15．利用均值不等式证明：(

2、1+<+)(1)（n=1,2,"）．nn+11n6．求证：(1+<)3（n=1,2,"）．n2班级姓名学号习题21−数列的极限函数的极限极限的性质nn(2)3−+1．求下列极限：(1)lim；nn++11n→∞(2)−+3111(2)lim(1−−⋅)(1)⋅⋅(1−)；222n→∞23nn22(3)lim[(1++rr)(1)"(1+r)](1r<)；n→∞(4)limx(xx+−1)；x→+∞31(5)lim(−)．3x→−1x++11x3班级姓名学号ax+−b22．求常数a和b，使得lim=1．x→0x11

3、+ex3．若fx()=，求limf()x，limf()x，lim()fx．1x→0−x→0+x→01−ex4班级姓名学号习题22−无穷小、无穷大tan(2)ln(1x⋅+x)1．利用等价无穷小的代换求下列极限：(1)lim；x→0sin(3)arctan(2)x⋅x21c−+osx(2)lim；2x→0sinx1cos(sin)−x(3)lim．2x→0x⎧ln(12)+x,0x>,⎪⎪x2．设fx()=⎨确定正数a的值，使得lim()fx存在．⎪axax+−−x→0,10−≤

4、极限的存在准则tanx−sinx1．计算下列极限：(1)lim；3x→0xsin(x−2)(2)lim；2x→2x−4x−2x(3)lim()；x→∞x2x+1x2(4)lim()．2x→∞x−16班级姓名学号2．设x=10,x=6+x(1n=,2,3,⋅⋅⋅)，试证数列{x}的极限存在，并求此数列极1nn+1n限．7班级姓名学号习题24−连续函数及其性质11．求函数fx()=的间断点，并说明其类型．x1−e1−x2n1−x2．设f()limxx=，试求函数f()x的表达式，若有间断点，并说明其类型．2nn→∞1

5、+x8班级姓名学号⎧1⎪xxcos,>0,3．设fx()=⎨x要使f()x在(−∞+∞,)内连续，确定常数．a⎪ax+≤2,0x⎩,⎧sinx⎪,0x<,x⎪⎪4．讨论fx()==⎨1,x0,的连续性．⎪⎪2(1+−x1),0x>⎪⎩x9班级姓名学号ln(1+αx)5．求下列极限：(1)lim(α为常数）；x→0xsinx−sina(2)lim；xa→x−aαxβxee−(3)lim(,αβ为常数）．x→0x6．设函数f()x在[0,2π]上连续，且ff(0)=(2)π，证明在[0,π]上至少存在一点ξ，使得ff

6、()ξ=+(ξπ)．10班级姓名学号习题31−导数的概念1⎛⎞131．求曲线yx=−在点⎜,−⎟处的切线方程与法线方程．x⎝⎠22ab2．若函数f()x可导，求lim[(nfx+−−)fx()](,ab≠0)．n→∞nn3．讨论函数f()sinxx=在点x=0处的连续性与可导性．11班级姓名学号习题32−求导的运算法则1．求下列函数的导数：(1)y=−+lnxx2lg3logx；2x(2)y=+2(sinxxcos)x；x−1(3)y=；2x+1secx(4)y=；1tan+xax−(5)y=ln；ax+12班级

7、姓名学号21sin(6)ye=x；2xa2222(7)y=−xa−+−ln(xxa)；22x(8)y=arctan．22aax+−2x1(+xfx)2．设f()x可导，求下列函数的导数：(1)y=；(2)y=．f()xx13班级姓名学号133．设f()x满足fx()2()+f=，求f′()x．xx2dydydy4．已知y=sin(x)，求,,．23dxdxdx14班级姓名学号习题33−高阶导数1．设yx=lnsec，求y′′′．2．设f()xgx=()，其中g是二阶可导函数，试求f′′()x．2ydy3．设y=+

8、1xe，求．2dxx=015班级姓名学号()nax4．求下列函数的阶导数ny：(1)y=e(α为常数）；1(2)y=；2x−+32x2(3)y=sinx．16班级姓名学号习题34−隐函数与参变量函数的求导方法dyx+y1．求下列函数的导数：(1)xye=；dxyx(2)x=y．222．证明：双曲线xya=上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积都等于2a．17班级姓名