几何体表面积与体积

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1、几何体的表面积与体积1.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积(1)直棱柱的侧面展开图及侧面积①直棱柱的侧面展开图是矩形，例如直六棱柱的展开图如图(1).②直棱柱的侧面面积.设棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则得到直棱柱侧面面积计算公式：S直棱柱侧面积=ch即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.(2)正棱锥的侧面展开图及侧面积①正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形.例如正四棱锥的展开图如图(2).②正棱锥的侧面积设正棱锥底面正多边形的边长为a，底面周长为c，斜高为h′，斜高为展开图中任一等腰三角形的高，则正n棱锥的侧面积的计算公式：S正棱锥侧=

2、nah′=ch′即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半.(3)正棱台的侧面展开图及侧面积①正棱台的侧面展开图正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯形，例如：正四棱台的展开图如图(3).②正棱台的侧面积设正n棱台的上底面，下底面边长分别为a′、a，对应周长分别为c′、c，斜高(斜高为展开图中任一等腰梯形的高)为h′,则正n棱台的侧面积公式:S正棱台侧=n(a+a′)h′=(c+c′)h′本结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出.(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和.疑难疏引棱柱、棱锥和棱

3、台的侧面积公式的内在联系必须明确，这样有利于认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体.正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系如下：例1直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为Q1、Q2，求它的侧面积.规律总结：公式中的量求出来，但要注意平面几何知识及整体思想的运用.例2已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高夹角为35°,则斜高为_________；侧面积为_________；全面积为_________.(单位：精确到0.01)规律总结：主要通过正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形寻找到各量的关系，并求解

4、.2.圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图如图(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积.①如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2，侧面积为2πrl.因此，圆柱的表面积.S=2πr2+2πrl=2πr(r+).②如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它的侧面积为πrl，表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).③如果圆台的两底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积为π(r′+r)l，表面积为S=π(r′2+r2+r′l+rl).疑难疏引圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开

5、图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.例3如图所示几何体是一棱长为4cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?(π=3．14)【规律总结】1.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．3.柱、锥、台体的体积(1)棱柱和圆柱的体积公式柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积.即V柱体=Sh底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算

6、公式是V圆柱=πr2h(2)棱锥和圆锥的体积公式锥体(棱锥、圆锥)的体积等于它的底面积S和高h的积的.即V锥体=Sh如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥=πr2h(3)棱台和圆台的体积V台体=h(S++S′)其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)高.V圆台=πh(r2+rr′+r′2)其中r′，r分别为上、下底面半径，h为圆台高.(4)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：(5)计算柱体、锥体和台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.疑难疏引在推

7、导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分成三个三棱锥，这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一，在这个过程中一是运用了等体积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要灵活运用.例4如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π=3．14)【规律总结】根据题意，发现下降的水的体积应该等于取出的圆锥形铅锤的体积，这是解决问题的关键，利用圆柱与圆锥的体积公式建立方

8、程，这当中应注意下降部分水柱的底面与玻璃的底面是相同的．4.球的表面积和体积(1)球的表面积①球面不能展开成