中考数学专题复习：函数综合题1

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1、数学中考专题复习：函数综合题11.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似三角形

2、的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形．【专题】综合题[来源:Z_xx_k.Com]【分析】（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式；②把（-1，m）代入函数解析式即可求得m的值；（2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论．利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，把x=-4，y=0代入得：-4k+3=0，∴k=，∴直线的解析式是：y=x+3，②由已知得点P的坐标是（1，m），∴；（2）∵PP′∥AC，△PP′D∽△ACD，∴，即，∴a=；（

3、3）以下分三种情况讨论．①当点P在第一象限时，1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）过点P′作P′H⊥x轴于点H．∴PP′=CH=AH=P′H=AC．∴2a=（a+4）∴a=∵P′H=PC=AC，△ACP∽△APB∴，即，∴b=22）若∠P′AC=90°，P′A=CA则PP′=AC∴2a=a+4∴a=6∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB∴，即∴b=43）若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．②当点P在第二象限时，∠PC′A为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；③当P在第三

4、象限时，∠PC′A为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．∴所有满足条件的a，b的值为或【点评】本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．2.已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长

5、度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；（2）存在．由（1）可求直线PB解析式为y＝2x－12，可知PB∥OD，利用BD＝PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；（3）由P（4，－4）可知直线OP解析式为y＝－x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为－2，此时t＝2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情

6、形，分别表示重合部分面积．解答：解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c由题意得，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2－8x＋12，（2分）点P的坐标为（4，－4）；（3分）（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：当y＝0时，x2－8x＋12＝0，∴x1＝2，x2＝6，∴点B的坐标为（6，0），设直线BP的解析式为y＝kx＋m则，解得∴直线BP的解析式为y＝2x－12∴直线OD∥BP（4分）∵顶点坐标P（4，－4）∴OP＝4设D（x，2x）则BD2＝（2x）2＋（6－x）2当BD＝OP时，（2x）2＋（6－x）2＝32，解得：x1＝，x2＝2，（6分）当x2＝2

7、时，OD＝BP＝2，四边形OPBD为平行四边形，舍去，∴当x＝时四边形OPBD为等腰梯形，（7分）∴当D（，）时，四边形OPBD为等腰梯形；（8分）（3）①当0＜t≤2时，∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，则MP＝t，∴PH＝t，MH＝t，HN＝t，∴MN＝t，∴S＝t•t•＝t2（10分），②当2＜t＜4时，P1G＝2t－4，P1H＝t，∵MN∥OB∴△P1EF∽△P1MN，∴，∴，∴＝3t2－12t＋12，∴S＝t2－（3t2－12t＋12）