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时间:2018-06-11
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1、用函数知识解决数列问题 数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成是关于n的函数,特别是等差数列的通项公式可以看成是关于n的一次函数(公差d≠0时),而其求和公式可以看成是关于n的二次函数.数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法,数列中各项大小的比较,可以借助函数图象的直观性来比较.因此,许多数列问题可以用函数的知识进行分析,加以解决. 1.等差数列的通项公式可以看成自变量为n的一次函数(公差d≠0时) 例1已知等差数列,其前n项和为,是否存在常数k,使得成立. 分析:将看成是n的一次函数,设出函数解析式并代入进行求解. 解:设存在常数
2、k,使得成立, 令(p、q为常数), 则.① 又∵,, 代入①式变为, 由②,得或. 将p=0代入③、④不成立. 将kp=代入③,得 , 代入④,得 ,即, ∴,从而得出. ∴存在常数k,使得成立. 评注:存在型探索性问题,是指判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是否有”等形式的疑问句,以示结论有待于确定.解答此类问题的思路是:通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分的结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论的证明. 2.
3、构造一次函数模型,利用一次函数图象性质解题 例2 等差数列的前n项和为30,前2n项和为100,则它的前3n项和为( ). (A)30 (B)170 (C)210 (D)260 分析:运用等差数列求和公式,先对进行变形,,则可以看成是关于n的一次函数,再利用点共线的性质求解. 解:由,可得, 由此可知数列成等差数列, ∴三点共线. ∴, ∴. 评注:①可以看成是关于n的一次函数,其图象是直线上的离散点,本题是利用点共线的条件建立方程求解的.运用该法还可以推得在等差数列中若,则.②等差数列的通项公式也可以看成是关于n的一次函数,利用该性质可推知等差数
4、列中若,则. 3.等差数列的前n项和可看成是关于n的二次函数 例3 已知等差数列,首项,且,问此数列前几项的和最大?最大值是多少? 分析:等差数列前n项和为特殊的二次函数,所以可采用配方法求其最值. 解:设等差数列公差为d,前n项和为, ∵,即, ∴, ∴当n=6或n=7时,为最大. 评注:关于等差数列前n项和最大(小)问题,可转化为二次函数问题,再结合二次函数的最值问题加以分析,但应特别注意,当对称轴不是正自然数时,应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式,再求值比较,以便确定n取何值时,最大(最小). 4.利用函数单调性知识解(证)数列中的单调性问
5、题 例4 已知函数,数列满足. (1)求数列的通项公式; (2)求证数列是递减数列. 分析:①本题已知函数关系式,并给出了的关系式,将其看作关于的方程解出即可.②数列是特殊的函数,借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性. (1)解:∵,, ∴,即.. ∴,(※) 解得 又∵,∴; (2)证明:由. 又∵.. ∴数列是递减数列. 评注:本题主要应用函数与方程的思想解题,(※)式可看成是关于的方程;而求出的通项公式又反映了是关于n的函数.解题过程中这个细节要注意.
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