例说中考数学探究性试题的解答策略

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1、例说中考数学探究性试题的解答策略长沙中学吴敦林中考数学试卷中的探究性试题，因为综合程度高，解答时要用到众多的数学思想方法，考生往往感到束手无策。现以某些省市中考数学探究性试题为例，谈谈这类问题的解答策略。1.从“特殊”到“一般”，拾阶而上。某些探究性试题一般给出几问，其中第一问在具体的数据或特殊情形下求解，其他几问则要求在一般情形下探究。解决问题的方法是：顺着解“特殊”问题的思路，并注意“一般”与“特殊”的转化，便能迎刃而解。例1．如图1，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C。(1)当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥

2、PD？如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。(2)设AB=a，DC=b，AD=c，那么，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P使AP⊥PD？简析：第(1)题在具体的数值情形下探究点P是否存在，用相似三角形的知识就能顺利解决。第(2)题在一般情形下探究三条线段满足何种关系，才存在结论AP⊥PD，其探究的方法有多种，这里仅探讨顺着解第(1)题的思路，贯彻“特殊到一般”的思想，继续用相似三角形的知识拾阶而上来研究。首先，求出BC=，再设存在这样的点P，且BP=x，则PC=－x，由AP⊥PD得，△ABP∽△PCD，则，化简，得x+ab=

3、0，△=，-5-由△≥0，得c≥a+b，方程有解，点P存在；由△＜0得c＜a+b，方程无解，点P不存在。所以当c≥a+b时，在直线BC上存在点P使AP⊥PD。例2．数学课上，老师出示图2和下面框中条件，如图2，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点坐标为（1，0），点B在x轴上且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数的图象于点C和D。直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H。记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。同学发现两个结论：①；②数值相等关系：=－。（1）请你验证结论①和②成立；（2）请你研究：如果将上述框中条件“A点

4、坐标为（1，0）”改为“A点坐标为（t，0），（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）（3）进一步研究：如果将上述框中条件“A点坐标为（1，0）”改为“A点坐标为（t，0），（t＞0）”，又将条件“”改为“（a＞0）”，其他条件不变，那么和有怎样的数值关系？（说明理由）简析：题（2）把题（1）中的点A由特殊条件（定点）改成一般条件（动点），两题在研究问题的方法上相同（把一般条件t当着特殊值参与运算），结论①仍成立。题（3）点A和抛物线都由“静”变“动”，结论②虽然发生了变化，研究问题的方法仍没变，但必须体会“从特殊到一般”的数学思想，

5、要懂得“动和静、变和不变是相对的”的辩证思维方式。2．化“动”为“静”，分而治之。有些以动态为情景的探究性试题，条件中涉及到点、线、面的运动，图形的全等、相似以及特殊三角形的关系。解决这类问题时，首先，化“动”为“静”，其次，根据运动的特征找准分类讨论的“临界点”，再则，有序的找出全等、相似以及特殊三角形中各种可能的“对应”，分别进行探究。例3．如图3，在直梯形ABCD中，∠D=∠C=，AB=4，BC=6，AD=8。点P、Q同时从A点出发，分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2-5-个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单

6、位。当这两个点达到自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两个点从出发运动了t秒。（1）动点P与Q哪一点先达到自己的终点？此时t为何值？（2）当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明理由。简析：题（1）、（2）只是为题（3）作铺垫。我们从两方面来探究题（3）首先，点P运动速度快故先达到终点，且它折线上运动，分类讨论只能以它为标准，由AB=4，BC=6，点P的速度为每秒2个单位，则0、2、5秒是三个“临界点”；其次，点P、Q运动的“路程”（动态线段或折线长），其

7、数学思想上是t的一次函数，我们在方法上化“动”为“静”，把它当“常数”处理。所以分类讨论如下：①当点P沿AB运动时0＜t＜2，以PQ为直径的圆不可能与CD相切；②当点P沿BC运动时2≤t≤5，设以PQ为直径的圆与CD相切于点K，交AD于点Q、H（如图4）。则DK=，DH=CP=10－2t，DQ=8－t，由切割线定理，得=DH·DQ。即=(10－2t)(8－t),2t－26t+77=0，解之,得t=＞5(舍去)，t=≈4.56＜5，所以，当t=时，以PQ为直径的圆与CD相切。例4．在直角坐标系xoy中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0），

8、B（0，4），C（-1，0）。点M和点N在x轴上（点M在点N的左边），点N在原点