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时间:2018-06-10
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1、与平行线有关的开放题探索开放性题目,格调清新,在解题过程中有较多的创造性,对考查同学们的创造能力、想象能力和探索能力有独特的作用.一、与平行线间的折线有关的开放题例1.如图1,AB∥CD,EO和FO交于点O.(1)试猜想∠1,∠2,∠3的大小关系,并说明理由.(2)如图2,直线l1∥l2,AB⊥l1,垂足为O,BC与l2,相交于点E,若∠1=300,则∠B=__.(3)如图3,AB∥CD,图中∠1,∠2,∠3,…,∠2n-1,∠2n之间有什么关系?图1图2图3图4图5解:(1)∠2=∠1+∠3.理由:如图4,过点0作MN∥AK由于AB∥CD.所以MN∥AB∥CD
2、.所以∠1=∠EON,∠3=∠NOF.所以∠1+∠3=∠EON+∠NOF=∠EOF.即∠2=∠1+∠3.(2)由(1)中的结论有:∠B=∠MOB+∠BEN=∠MOB+∠1=900+300=1200.(3)∠1+∠3+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n.理由:如图5,作EF∥AB,则∠1=∠α.作GH∥EF,则∠θ=∠β.因为AB∥CD.所以CD∥GH.因此∠γ=∠4.所以∠1+∠θ+∠γ=∠α+∠β+∠4.即1∠+∠3=∠2+∠4.因此∠1+∠3+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n。二、条件开放题-3-即要得到某一结论,但还缺少条件,要求补充完整,往往所
3、补充的条件不惟一的题.例2.如图6,已知:AB⊥BE于B,CD⊥DF于D,要使AB∥CD,还需补充什么条件?请你填上所需条件.图6析解:要使AB∥CD,只要使∠1=∠2,因AB⊥BE于B,从而∠l=900,故只需∠2=900;考虑到CD⊥DF于D,故∠3=900,从而∠2=∠3即可;又由∠2=∠3可知BE∥DF.故可在∠2=∠3,或BE∥DF中任选一个条件即可.三、结论开放题即满足条件的结论未给出,且结论不惟一.例3.如图7,已知DE,BF分别平分∠ADC和∠ABC,∠ABF=∠AED,∠ADC=∠ABC,由此可得到图中哪些线段平行?并说明理由.解:DE∥BF,
4、CD∥AB,AD∥BC.由∠AED=∠ABF易得DE∥BF由已知可知∠AED=∠ABF=∠ABC=∠ADC=∠EDC,故CD∥AB;图7由CD∥AB易得∠C+∠ABC=1800,又因为∠ABC=∠ADC,所以∠C+∠ADC=1800,故AD∥BC.例4.如图8,AB∥CD,GM,HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线.(1)试判断GM和HN的位置关系;(2)如果GM是∠AGH的角平分线,(1)中的结论还成立吗?图10(3)如果GM是∠BGH的角平分线,(1)中的结论还成立吗?如果不成立,你能得到什么结论?解:(1)GM∥HN.理由:由AB∥CD,可得∠BGE=∠
5、DHG.因为∠MGE=∠BGE,∠NHG=∠DHG,所以∠MGE=∠NHG.图9所以GM∥HN.(2)如图9,(1)中的结论仍然成立.-3-理由:因为AB∥CD,所以∠AGH=∠DHG.又因为∠MGH=∠AGH,∠NHG=∠DHG,所以∠MGH=∠NHG.图10因此GM∥HN.(3)如图10,(1)中的结论不成立.结论:GM⊥HN.理由:因为AB∥CD,所以∠BGH+∠DHG=1800.又因为∠HGM=∠BGH,∠GHN=∠DHG,所以∠HGM+∠GHN=900.所以∠GKH=900.即GM⊥HN.四、探索题:即根据题意探索结论或条件的题.例5.如图11,已知∠
6、1=∠2,BD平分∠ABC,可得到哪两条直线平行?如果要得到另外两条直线平行,则应将上述两个条件之一作如何改变?分析:由BD平分∠ABC知∠1=∠DBC,又∠1=∠2,可知∠2=∠DBC,从而可知平行的两条线段了.若要另外的两直线平行,仍可仿上述条件作适当改动即可.解:由已知条件可得AD∥BC.理由:因为BD平分∠ABC,所以∠l=∠DBC.又因为∠l=∠2,故∠2=∠DBC.从而AD∥BC.若要AB∥DC,则只需∠1=∠BDC即可.而∠1=∠2,故应有∠2=∠BDC.这时可将“BD平分∠ABC”改为“DB平分∠ADC”即可.图11-3-
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