个位数与完全平方数

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1、个位数与完全平方数1．个位数正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系.下面首先介绍其周期性及一些相关性质，通过例题来说明它的应用.关于个位周期我们用下表说明：（此处无表）注：表中G(a)、G(an)分别表示整数a及an的个位，当n=4k+r(r=0，1，2，3，k∈N)时，a4k+r时，a4k+r的个位与a的个位相同.下面两条性质是显然的：性质1和的个位数字是诸加项个位数字之和的个位数字.性质2积的个位数字是诸因数个位数字之积的个位数字.（1）确定高次幂的个位数及连乘积的个位数.例1（杭州首届“永是

2、杯”初二数学竞赛题）19871987·19881988·19891989的个位数是多少?解19871987=19874×496+3，个位为3；19881988=19884×497，个位为6；19891989=19894×497+1，个位为9，∴19871987·19881988·19891989个位数是3×6×9的个位数即为2.例2求的个位数字，解令M1=4747，M2=4747，…，Mn=则M1的个位数=4747的个位数=474×11+3的个位数=473的个位数=3，M2的个位数=47M1的个位数

3、=4747的个位数=3，……∴Mn的个位数=47Mn-1的个位数=…=3.一般地，我们有关于高次幂的一个有趣性质：若b、c均为奇数，则Mbc的个位数=M的个位数.对b、c取其它奇偶情况时，读者不妨自己作出结论，并加以证明.（2）利用个位数来研究幂指数从上表中我们易得下面两个性质：1°.任何整数的4k+2次方个位数不可能为2、3、7、8.（只可能是0、1、4、5、6、9）2°.任何整数的4k+4次方个位数不可能是2、3、4、7、8、9.（只可能是1、5、6）例3试证明1+2+3+…+n，这n个连续的自

4、然数的和的个位数不可能是2、4、7、9.证明1+2+3+…+n=，由穷举法易得n2+n个位数可能是2、6、0，故个位只能是1、6、3、8、0、5，不可能是2、4、7、8.例4证明方程x12-5y7-4=0不可能有整数解证明∵x12的个位数为1、6、5，5y7个位数只能是0或5，显然x12-5y7-4永远不可能等于0，故方程无解.（3）判定一个整数是否能被整除例5已知整数a不能被5整除，试证明a4-1能被5整除.证明依题意知a的个位数不能是0或5.第4页(共4页)(i)当a的个位数为1、3、7、9时，

5、a4的个位数均为1，于是a4-1的个位数为0(ii)当a的个位数为2、4、6、8时，a4的个位数均为6，于是a4-1的个位数都是5.所以无论哪种情况，a4-1都能被5整除.例6（匈牙利1900—1901竞赛试题）证明当且仅当指数n不能被4整除时1n+2n+3n+4n能被5整除.（其中n是正整数）证明设A=1n+2n+3n+4n，当n=4k(k为整数)时，1n、3n的个位数均为1，2n、4n的个位均为6，显然5A.当n≠4k时，若n=4k+1，易知A的个位=（1+2+3+4）的个位=0，∴5

6、A；当n

7、=4k+2时，A的个位=（1+4+9+16）的个位=0，∴5

8、A.当n=4k+3时，A的个位=（1+8+27+64）的个位=0，∴5

9、A.综上所述仅当n不是4的倍数时5

10、A.（1）其它类型例7（日本1990年参加国际数学竞赛国内选拔赛）某正整数之平方，其末三位是非零的相同数字，求具有该性质的最小正整数.解设所求数为p＞0,p2既具有末三位数,则p2至少有三位数,p至少有二位数.设p=10a±b(a、b为正整数，1≤b≤5)p2=100a2±20ab+b2=100a2+10(±2ab)+b2验证知当b

11、=1、3、5、4时，p2的十位和个位数字奇偶性相反；当b=2时，p2的末两位数字奇偶性相同.所以所求数必须形如10a±2，而P=12时P2=144，末两位数字为4.又注意（50n±x）2=2500n+100nx+x2=100（25n2+nx）+x2∴(50n2±12)2=100(25n2±nx)+144.容易验证上式中当n=1，并取“-”号时，有382=1444便是符合要求的最小正整数.1．完全平方数定义设n是正整数，若存在正整数m使n=m2，称n是一个完全平方数.与完全平方数有关的问题经常出现在国

12、内外中学数学竞赛题及各种智力问题征解中，这些问题不仅结论奇妙，且解法耐人寻味.（1）判断一个数是完全平方数先看一个限时一分钟解答的选择题：例8有四个数①921438，②76186，③750235，④2660161，其中只有____是完全平方数.在回答这一问题前，我们先介绍两条性质（请读者自己证明）性质1完全平方数个位数只能是0，1，4，5，6，9之一.性质2偶数平方为偶数，且能被4整除，奇数的平方是奇数，且被4除余1.据上述性质可知，例8中①个位数为8；②为偶数但不能