2004-012-1（20分）设分别为数域上的矩阵和矩阵，令

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1、矩阵21．设是2004阶方阵,且I是2004阶单位阵,计算这里.2．设是n阶实方阵,而是n阶单位阵,证明:若可逆,则也可逆.3。设为阶实对称矩阵,为维实向量,证明:的充分必要条件是及.其中表示的转置.4．设为阶方阵,求证存在正整数,使秩=秩.并证存在阶矩阵,使5．设分别为阶和阶矩阵,求证无公共特征值的充要条件为矩阵方程只有零解.6．设已知可逆.求证:存在使.(注:P是数域,表示元素在P中的n阶方阵的集合)7．设求证:.(注:表示的伴随矩阵)8．设且秩+秩.证明:存在阶可逆矩阵使得9．设是n阶复矩阵,且存在正整数m使得(这里E是n阶单位阵).证明:A

2、与对角矩阵相似.10．设为3阶方阵,为其伴随矩阵,求11．设为矩阵,的秩,证明存在矩阵和矩阵且,使.12．已知,证明可逆,并求出其逆.13．是n阶矩阵,是的伴随矩阵,证明:14．设为n阶方阵,证明:如果,则可对角化.15．设是阶可逆矩阵,是阶可逆矩阵,,则(的转置矩阵)=_______;;(的伴随矩阵).16．设3阶方阵的特征值是1,2,-2,则(的迹)=_______;的特征值是________;在相似关系下的标准型是________.17．设.则存在可逆阵,使得.18．（1）设是阶实矩阵,则的充要条件是;（2）设是阶实反对称矩阵,若存在阶矩阵使

3、得,则.19．设都是阶方阵,是阶单位阵.求证的充要条件是.20．令s是一些n阶方阵组成的集合,关于任意且.证明:21．如果n级矩阵A,B及n级单位矩阵E满足则表成矩阵A的多项式是___________22．设且可逆,若,则__________23．设矩阵则下列命题正确的是()以上结论都不对24．设n阶方阵A和B满足,证明:(1)不是B的特征值;(2)若B相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵P,使得与都是对角矩阵.25．设分别为数域上的矩阵和矩阵，令。证明：如秩，则数域上存在一个秩为的矩阵；满足对于数域上任何阶方阵，26．设复方阵，证明相似于对角阵当且仅当

4、。27．记为互换第行及第行所对应的初等矩阵，为将第行乘以非零常数所对应的初等矩阵，为将第行的倍加到第行所对应的初等矩阵。（1）证明（2）设为非零的数，试仅用一系列如上的第三类型的初等矩阵左乘矩阵将其化为单位阵。28．为3阶矩阵，满足，若，则=29．，，其中是的伴随矩阵，则必有（A）或（B）或（C）或（D）或30．设是三维列向量，是的转置矩阵，若，则=（）31．设是秩为的乘阶矩阵，证明存在秩为的阶方阵使32．设是级方阵，证明存在一可逆矩阵及一个幂等矩阵使。33．设是阶方阵，证明可逆当且仅当存在常数项不为0的多项式，使得。34．设是一个3阶方阵，且，，

5、证明与有一个的秩为1，另一个的秩为2，其中为3阶单位阵。35．设是实矩阵，是实矩阵，证明矩阵方程一定有解。其中为的转置矩阵。36．设，求。37．（1）设为正定阵，求证：正定。（2）设A正定，求证：存在C，C正定且.38．为阶方阵，且，则的伴随矩阵（）(A)(B)(C)(D)39．设阶方阵，满足，则必有（）(A)(B)(C)(D)40．设是一个阶方阵（，试证：41．设的主对角线上上所有元素之和），的所有特征值之和，证明：并且等式成立当且仅当（1）是零矩阵；或（2）相似于对角矩阵；或（3）合同于对角矩阵42．三阶方阵的特征值为的特征值=。43．相似于对

6、角阵，则的关系为。44．设，。45．设的伴随矩阵（1）证明：（2）证明：46．设47．设。48．矩阵可逆的充分必要条件是：（）49．如果矩阵单位矩阵，则叙述正确的是：（）50．。51．方阵A可逆的充分必要条件是存在常数项不为零的多项式，使得f(A)=0()52．若A，B均为n级矩阵，B可逆。且满足53．证明：矩阵A的秩等于r的充分必要条件是A有一个r级子式不为零，而所有的r+1级子式全为零。54．（1）设A、B均为n阶矩阵，证明：如果AB=O，则秩(A)+秩(B)。（2）设A是一个n阶矩阵，且秩(A)=r，证明：存在一个n阶可逆矩阵P，使PAP-1

7、的后n-r行全为零。55．设三阶方阵，试计算。56．证明：（1）若都是阶方阵，且，则。（表示矩阵的秩）（2）若阶方阵满足条件，则。57．（1）若矩阵与矩阵相似，证明：与有相同的特征值。（2）举例说明，上述命题的逆命题不成立。（3）若与均为对称矩阵，则（1）的逆命题成立。58．设、是矩阵，且是级单位阵），。证明：不是可逆矩阵。59．设为级实对称矩阵，的秩等于。（1）证明：存在正交矩阵，使其中是级单位矩阵。（2）计算。60．设、为两个矩阵，的个特征值两两互异，若的特征向量恒为的特征向量，证明：。61．设，而若、的秩分别为及，试证的秩不大于。62．设（1

8、）证明：（2）求63．（1）设A是秩为2的3阶方阵，证明A可表示为BC，其中B和C分别为和矩阵；（2）设B，C分别为和矩阵