我们考察数域P上全体mn矩阵的集合Mn

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1、我们考察数域P上全体m×n矩阵的集合Mn,n(P)和数域P上全体n维向量集合（即n维向量空间）Pn,可以看出，这两个集合中元素的加法与数域P中数与集合元素之间的数量乘法都有十分相似的运算性质.如果它们抽象出来，就得出一般线性空间的概念.§7.1线性空间的概念定义7.1设V为一个非空集合,P是一个数域.假若V上定义了一个代数运算(通常叫加法):对V中任意两个元素a,定的法则,都有唯一确定的元素r与它们对应,称r为a与的和,记r=a+;又定义了P中数与V中元素的一种代数运算(通常叫数量乘法):对任意k∈P,a∈V,按照某种固定的

2、法则,都有V中唯一确定的元素与它们对应,称为k与a的数量乘积,记并且,这两种代数运算都满足下列运算规律:有(1)加法交换律:(2)加法结合律:对任意,按某种固=ka.(3)零元素:在V中存在一个元素(记作0),使对任意a∈V有a+0=a;(4)负元素:对任意a∈V,都存在一个依赖于a的元素(通常叫做a的负元素),记为-a,使a+(-a)=0;(5)1a=a;(6)k(la)=(kl)a;(7)(k+l)a=ka+la;(8)则称集合V连同上面的两种代数运算构成一个数域P上的线性空间,记为V/P或(V/P,+,˙)或(V,+,

3、˙)或简记为V.特别地,当P为实数域时,称V为实线性空间;当P为复数域时,称V为复线性空间.习惯上,我们把数域P上的线性空间V中的元素也称为向量,用小写希腊字母字母a,b,c,…表示。例1设V=加法为a+a=a;对任意k∈P,规定ka=a.则V构成数域P上线性空间，称为零空间，记成V=例2n维向量空间Pn对向量加法、数量乘法构成一个线性空间.特别地,Rn对向量加法、数量乘法构成一个实线性空间.表示，而把数域P中的数用小写英文只含有一个元素，P为数域，规定V中或V=0.例3数域P上全体m×n矩阵的集合Mm,n(P)对矩阵加法和

4、数量乘法构成一个线性空间，称为矩阵空间，记为Mm,n(P)（或Pm×n).如果m=n，通常把Mm,n(P)简写为Mn(P),它是由数域P上全体n级矩阵的集合对矩阵的加法、数量乘法构成的线性空间.例4设P为数域，取集合V=P，并规定V中加法就是数域P中的加法，P与V之间的数量乘法就是数域P中的乘法.则V=P构成数域P上的线性空间.例5定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数的集合对函数的加法和数量乘法构成实线性空间，记为C[a,b].例6设R+为全体正实数的集合.规定R+中加法为ab=ab，a,b∈R+，实数域R与R+之间的

5、数量乘法为k。a=ak,k∈R,a∈R+,则R+构成一个实线性空间.证明对任意a，b∈R+，k∈R,有ab=ab∈R+,ka=ak∈R+,所以R+对上述定义的加法和数量乘法是封闭的，且a,b,c∈R+,k,l∈R,有：(1)ab=ba;(2)(ab)c=a(bc);(3)R+中零元素1，使1a=a1=a;(4)对任意a∈R+，有负元素，使(5)1a=a1=a;(6)k(la)=k(al)=(al)k=akl=(kl)a;(7)(k+l)a=ak+l=akal=akal=(ka)(la

6、);(8)k(ab)=k(ab)=(ab)k=akbk=akbk=(ka)(kb),所以R+构成一个实线性空间.例8设A为数域P上的m×n矩阵，V为齐次线性方程组AX=0的全部解的集合，则V为n维列向量空间Pn的一个子集合，且V对Pn中向量加法和数量乘法构成数域P的线性空间。这就是前面我们所提到的解空间的概念。（思考题：如果把齐次线性方程组换成非齐次线性方程组，其全部解的集合，如果非空的话，是否有可能构成一个线性空间？）因此，不论是几何中的向量，微积分中的函数，还是矩阵，都可以抽象地作为我们线性空间中的元素（向

7、量）。我们把它们的加法、数乘运算抽象成一般线性空间中的加法、数乘运算，去研究其共性，掌握一般规律。数域P上的线性空间V具有下列性质：（1）线性空间V中的零元素是唯一的（因此我们可以把零元素用0表示）；（2）线性空间V中的任意元素a的负元素-a由a唯一确定；（3）(-1)a=-a（4）ka=0当且仅当k=0或a=0证明我们只证明（1）和（2），（3）和（4）由读者自己证明。设01和02都是V中零元素，则01=01+02=0.设a∈V有负元素，则,于是利用负元素的概念，我们可以定义线性空间V中减法运算如下：a-=a+(-).

8、类似第4章Pn中的讨论，我们可以把线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组等概念照搬到一般线性空间中，并且相应的结论也都成立，我们不再述。□一、维数、基类似于Pn中讨论，可以在线性空间中引入维数、基的概念定义7.2设V为数域P上的线性空间，如果V中有一个线性无关的向量组a1,