波函数和薛定谔议程

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1、第二章波函数和薛定谔议程1．一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。[解]首先将归一化，求归一化系数A。（1）动量的几率分布函数是注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有令代入上式得（2）动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论：①一维的傅里叶变换的系数是而不是。②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于的情况，变换式的形式保持不变。③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。2．设在时，

2、粒子的状态为求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。[解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照求平均值。在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取，而，粒子动量的平均值为A可由归一化条件确定故粒子动能的平均值为。方法二：直接积分法根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有而则有及。讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分

3、布的概念来求归一化系数。②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。3．一维谐振子处在的状态，求：（1）势能的平均值；（2）动量的几率分布函数；（3）动能的平均值[解]先检验是否归一化。是归一化的。（1）.其中应用及（2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数其中，（3）其中由此得出结论，对于处在基态的谐振子来说，动能的平均值和势

4、能的平均值相等。4．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。[解]一维谐振子的波函数为式中为厄密多项式。对于第一激发态故处在第一激发态的几率正比于欲求其最大值，必须满足即有讨论：①在处有极值，这是由于一维谐振子的波函数本来就是对原点对称的缘故，这从物理上看是很清楚的，当及时，几率，故和几率的关系大致如图示。②假如过渡到经典情况，相当于，这时。这在经典力学看来是完全合理的，因为从经典的观点来看，谐振子处在原点几率最大，因为处在原点能量最低。5．设氢原子处在的态，为玻尔半径，求（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）动量几率分布函数。[解]先检验是否归一

5、化。这表明是归一化的。（1）（2）这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。（3）选用球坐标，且使y轴与的方向一致，则有其中令，且应用了再令则6．粒子在势能为的场中运动，证明对于能量的状态，能量由关系式决定，其中ⅠⅡⅢ[解]势能与坐标的关系如图示，按值的不同可分为三个区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。分别应用薛定谔方程，有Ⅰ：，其中：Ⅱ：其中：Ⅲ：其中：它们的解分别为，边界条件：当；则当，；则连接条件（波函数的标准条件）在处，在处，在处，在处，在上面四个式子，由第一和第三式可得由第二和第四式可得而故其中令于是有由，得由可得讨论：①对于束缚态的

6、问题，我们总是先按不同的要求写出薛定谔方程，求出解。然后再利用边界条件和波函数的标准条件定解。这种方法具有一般性。②把Ⅰ、Ⅲ两区域的解写成指数形式，是因为能够利用边界条件把两个任何常数的问题变为只有一个任意常数的问题。而在区域Ⅱ中没有边界条件。又因所要求的结果具反三角函数的形式，因此把Ⅱ的解写成三角函数的形式。原则上，写面指数或三角函数形式是任意的，若选择得当，往往可使问题的求解较为简捷。7．粒子处在势能为的场中运动，求在能量小于的情况下决定粒子能量的关系式。[解]对区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别有Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：其解分别为ⅠⅡⅢ边界条件：当时，当时，；于是连接条件：当时，

7、，，当时，，，上列四式可重写为齐次方程式为下：这个方程组要得到非零解，必须其系数行列式为零，故有解之得它与三式决定粒子的能量。8．求三维谐振子的能级，并讨论它的简并情形。[解]三维谐振子的哈密顿为其中如果哈密顿可以分离变量，就必然有及因此可以设定薛定谔方程的解为且则有两边均除以得：要上式两边相等，必须今、、三份分别相等，亦即故有它们分别为沿、、方向的线谐振子方程，它们的能量分别为因此三维谐振子的能量为其中为正整数。由N确定后，由于可以有不同的组合，因此就对应于不同的状态，这就是简并。简并的重数可以决定如下：当时，可取，故有个可能值。当时，可取，有个可能值。…

8、…当时，只能取0，即只有一个可能值。当和都确定后，由