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时间:2018-05-25
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1、数列能力专题训练题1.设等比数列{}的前n项和为,若=3,则=()(A)2(B)(C)(D)3【解析】设公比为q,则=1+q3=3Þq3=2于是.【答案】B2.等比数列的前n项和为,且4,2,成等差数列。若=1,则=()(A)7(B)8(3)15(4)16解析:4,2,成等差数列,,选C.3.数列的通项,其前项和为,则为A.B.C.D.答案:A【解析】由于以3为周期,故故选A4.已知数列满足:则________;=_________.【答案】1,0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意,得,..∴应填1,0.5.设是公比为的等比数列,,令,若数列有连续四项在集合中,则
2、=.【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。有连续四项在集合,四项成等比数列,公比为,=-96.等差数列{}前n项和为。已知+-=0,=38,则m=_______解析:由+-=0得到。答案107.设,,,,则数列的通项公式=..【答案】:2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4,公比为2的等比数列,则8.数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)在集合,,且中,是否存在正整数,使得不等式对一切满足的正整数都成立?若存在,则这样的正整数共有多少个?并求出满足条件的最小正整数的值;若不存在,请说明理由;8.解:(1)由题意得,
3、①,当时,,解得,……(1分)当时,有②,①式减去②式得,于是,,,因为,所以,……(3分)所以数列是首项为,公差为的等差数列,……(4分)所以的通项公式为()……(5分)(2)设存在满足条件的正整数,则,,,……(7分)又,,…,,,,…,,所以,,…,均满足条件,它们组成首项为,公差为的等差数列.……(9分)设共有个满足条件的正整数,则,解得.……(10分)所以,中满足条件的正整数存在,共有个,的最小值为.……(12分)9.设数列的通项公式为.数列定义如下:对于正整数m,是使得不等式成立的所有n中的最小值.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)若,求数列的前2m项和公式;(Ⅲ)是否存在p和q,使得?如果
4、存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.(Ⅰ)由题意,得,解,得..∴成立的所有n中的最小整数为7,即.(Ⅱ)由题意,得,对于正整数,由,得.根据的定义可知当时,;当时,.∴.(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式及得.∵,根据的定义可知,对于任意的正整数m都有,即对任意的正整数m都成立.当(或)时,得(或),这与上述结论矛盾!当,即时,得,解得.∴存在p和q,使得;p和q的取值范围分别是,..10.对于数列若存在常数M>0,对任意的,恒有则称数
5、列为B-数列(1)首项为1,公比为的等比数列是否为B-数列?请说明理由;请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假,并证明你的结论;(2)设是数列的前项和,给出下列两组论断;A组:①数列是B-数列②数列不是B-数列B组:③数列是B-数列④数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假,并证明你的结论;(3)若数列都是数列,证明:数列也是数列。解(1)设满足题设的等比数列为,则,于是因此|-|+|-|+…+|-|=因为所以即故首项为1,公比为的等比数列是B-数列。(2)命题1:若数列是B-数列,
6、则数列是B-数列次命题为假命题。事实上,设,易知数列是B-数列,但由的任意性知,数列是B-数列此命题为。命题2:若数列是B-数列,则数列是B-数列此命题为真命题事实上,因为数列是B-数列,所以存在正数M,对任意的有即。于是所以数列是B-数列。(III)若数列{}是数列,则存在正数,对任意的有注意到同理:记,则有因此+故数列是数列11.数列{an}满足.(Ⅰ)用数学归纳法证明:;(Ⅱ)已知不等式,其中无理数e=2.71828….(Ⅰ)证明:(1)当n=2时,,不等式成立.(2)假设当时不等式成立,即那么.这就是说,当时不等式成立.根据(1)、(2)可知:成立.(Ⅱ)证法一:由递推公式及(Ⅰ)
7、的结论有两边取对数并利用已知不等式得故上式从1到求和可得即(Ⅱ)证法二:由数学归纳法易证成立,故令取对数并利用已知不等式得上式从2到n求和得因故成立12.设个不全相等的正数依次围成一个圆圈.(Ⅰ)若,且是公差为的等差数列,而是公比为的等比数列;数列的前项和满足:,求通项;(Ⅱ)若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:;解:(I)因是公比为d的等比数列,从而由,故解得或(舍去)。因此.又。解得从而当时,当时,由是公比
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