数列能力专题训练题

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1、数列能力专题训练题1．设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=（）（A）2（B）（C）（D）3【解析】设公比为q,则＝1＋q3＝3Þq3＝2于是.【答案】B2．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=（）（A）7（B）8（3）15（4）16解析：4，2，成等差数列，,选C.3．数列的通项，其前项和为，则为A．B．C．D．答案：A【解析】由于以3为周期,故故选A4．已知数列满足：则________；=_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得，..∴应填1，0.5．设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则

2、=.【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，=-96．等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______解析：由+-=0得到。答案107．设，，，，则数列的通项公式=．.【答案】：2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则8．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；8．解：（1）由题意得，

3、①，当时，，解得，……（1分）当时，有②，①式减去②式得，于是，，，因为，所以，……（3分）所以数列是首项为，公差为的等差数列，……（4分）所以的通项公式为（）……（5分）（2）设存在满足条件的正整数，则，，，……（7分）又，，…，，，，…，，所以，，…，均满足条件，它们组成首项为，公差为的等差数列．……（9分）设共有个满足条件的正整数，则，解得．……（10分）所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．……（12分）9．设数列的通项公式为.数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果

4、存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得，解，得..∴成立的所有n中的最小整数为7，即.（Ⅱ）由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，.∴.（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有，即对任意的正整数m都成立.当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾！当，即时，得，解得.∴存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，..10．对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有则称数

5、列为B-数列（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（2）设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：①数列是B-数列②数列不是B-数列B组：③数列是B-数列④数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列都是数列，证明：数列也是数列。解（1）设满足题设的等比数列为,则，于是因此｜-｜+｜-｜+…+｜-｜=因为所以即故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。（2）命题1：若数列是B-数列，

6、则数列是B-数列次命题为假命题。事实上，设，易知数列是B-数列，但由的任意性知，数列是B-数列此命题为。命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有即。于是所以数列是B-数列。（III）若数列{}是数列，则存在正数，对任意的有注意到同理：记，则有因此+故数列是数列11．数列{an}满足.（Ⅰ）用数学归纳法证明：；（Ⅱ）已知不等式，其中无理数e=2.71828….（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么.这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）

7、的结论有两边取对数并利用已知不等式得故上式从1到求和可得即（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得上式从2到n求和得因故成立12．设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；解：（I）因是公比为d的等比数列，从而由，故解得或（舍去）。因此.又。解得从而当时，当时，由是公比