例析《二元一次方程组》中的数学思想

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1、例析《二元一次方程组》中的数学思想我们在学习数学知识和数学方法的同时不能忽视蕴含于其中的数学思想，本文从《二元一次方程组》一章中精选几例谈谈对数学思想的领悟．一、消元转化的思想代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同而已，我们应根据方程组的具体情况，与方程组的特点选择适合它的解法．例1解方程组：1、代入消元解：由②得：　　③，把③代入①，得，解得＝2，把＝2代入③，得＝　∴方程组的解是　2、加减消元解：①＋②×4，得16＝32，∴＝2，把＝2代入②得：＝，∴方程组的解是：二

2、、整体探求的思想第5页共5页对于一个问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上探求解题途径的数学思想方法叫整体探求思想，在《二元一次方程组》中，体现这种思想方法的地方很多，课本中的许多习题都可以用这种思想去简捷求解．就上例来说我们也可以用整体探求的方法来解：解：由②得：　　③，把③代入①（可变为），得，解得＝2，下同上面的：代入法．例2解方程组：解：②变形，得3()＋＝7　　③把①代入③，得6＋＝7，解得＝1.把＝1代入①，解得＝0.∴方程组的解是例3（曲靖市）若，，则．【分析】本题由于每个方程中含有三个未知数，而而已知条件以只有两个等式，

3、所以本题思维性较强，若运用整体思想，显得较简便．解：依题意可得，，①＋②，得，∴5．三、数形结合思想利用数量关系来研究图形性质，利用图形性质来研究数量关系，即借助数与形的相互转化来研究和解决问题的数学思想叫做数形结合思想．在本章中研究列方程组解应用题时常用到数形结合思想．例4（江西省）一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=°∠2=°，则可得到方程组为（）第5页共5页A．B．C．D．【析解】本题已给出两个未知量，根据平角为180°，直角为90°及题目所给的已知条件可得出方程组（D）．用整体思想解二元一次方程组解二元

4、一次方程组主要是通过消元（代入消元法、加减消元法），化二元一次方程组为一元一次方程，然后求出二元一次方程组的解，在运用消元法解二元一次方程组时，还要注重整体思想的运用，以探求消元捷径，提高解题速度和准确性．1、直接整体代入①②例1解方程组分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把①中的整体代入②，先求出x的值，再求出y的值．解：由①得5y=21-3x③把③代入②，得4x+3（21-3x）=534x+63-9x=53，-5x=-10x=2把x=2代入③，得5y=21-6y=3∴原方程组的解是2、变形后整体代入①②例2解方程组第5页共5页分析：由①得4

5、x=2-5y，把4x看成整体代入②，式较简捷，解：由①得4x=2-5③把③代入②得2x+2-5y+7y=8，化简得x=3-y④，把④代入①得4（3-y）+5y=2，解得y=-10，把y=-10代入①得4x-50=2，解得x=13∴原方程组的解是二、加减消元法中的整体思想1、直接整体加减①②例3解方程组分析：方程组中x、y的系数和相等，可以把两式相加减解：①+②得12x+12y=24，即x+y=2③①-②得4x+2y=2，即2x+y=1④④-③得x=-1，把x=-1代入③得y=3∴原方程组的解是2、变形后整体加减①②例4解方程组分析：方程组中的系

6、数成整数倍，②可以通过变形构造出x-y，且x-y的系数互为相反数，可以把两式相互加减解：由②得4（x+y）+3（x-y）=15③，①+③得x+y=3④，把④代入①，得x-y=1⑤④+⑤得x=2，④-⑤得y=1∴原方程组的解是三、由整体思想构造方程组第5页共5页例5如果2x+3y+z=130，3x+5y+z=180，求的值．解：将x+2y、x+y+z看作整体，已知条件变形为解得则=第5页共5页