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时间:2018-05-10
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1、等腰三角形经典例题透析类型一:与度数有关的计算 1.如图,在△ABC中,D在BC上,且AB=AC=BD,∠1=30°,求∠2的度数。 思路点拨:解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系,显然∠2=∠1+∠C,只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了,而∠C=∠B,所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系,变成△ABD的角之间的关系,问题就容易的多了。 解析:∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AB=BD ∴∠2=∠3 ∵∠2=∠1+∠C ∴∠2
2、=∠1+∠B ∵∠2+∠3+∠B=180° ∴∠B=180°-2∠2 ∴∠2=∠1+180°-2∠2 ∴3∠2=∠1+180° ∵∠1=30° ∴∠2=70° 总结升华:关于角度问题可以通过建立方程进行解决。 举一反三: 【变式1】如图,D、E在△ABC的边BC上,且BE=BA,CD=CA,若∠BAC=122°,求∠DAE的度数。 【答案】∵BE=BA ∴∠2=∠BAE ∵CD=CA ∴∠1=∠CAD
3、 ∵∠1+∠CAD+∠C=180°42 ∴∠1= ∵∠2+∠BAE+∠B=180° ∴∠2= ∴∠1+∠2= ∵∠B+∠C=180°-∠BAC ∴∠1+∠2= ∵∠DAE=180°-(∠1+∠2) ∴∠DAE=90°-=90°-61°=29°。 【变式2】在△ABC中,AB=AC,D在BC上,E在AC上,且AD=AE,∠BAD=30°,求∠EDC的度数。 【答案】∵AB=AC,AD=AE ∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED
4、 ∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD ∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD ∵∠AED=∠C+∠EDC ∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD ∴∠EDC=∠BAD=15°。类型二:等腰三角形中的分类讨论 2.当腰长或底边长不能确定时,必须进行分类讨论 (1)已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长。 (2)等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长。 思路点拨:由等腰三角形的性质可知我们在解此题前,必须明确所给的边的定义,在这里哪条边是“腰”,
5、哪条边是“底”不明确,而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提,因此必须进行分类讨论。 解析:(1)因为8+8>10,10+10>8,则在这两种情况下都能构成三角形; 当腰长为8时,周长为8+8+10=26; 当腰长为10时,周长为10+10+8=28; 故这个三角形的周长为4226cm或28cm。 (2)当腰长为3时,因为3+3<7,所以此时不能构成三角形; 当腰长为7时,因为7+7>3,所以此时能构成三角形,因此三角形的周长为:7+7+3=17;
6、 故这个三角形的周长为17cm。 总结升华:对于此类题目在进行分类讨论时,必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形 举一反三: 【变式1】当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,求它的各个内角的度数 【答案】(1)当底角是顶角的4倍时,设顶角为x,则底角为4x, ∴4x+4x+x=180°,∴x=20°,∴4x=80°, 于是三角形的各个内角的度数为:20°,80°,80°。 (2)当顶角是底角的4倍时,设底角为x,则顶角为4x,
7、 ∴x+x+4x=180°,∴x=30°,∴4x=120°, 于是三角形的各个内角的度数为:30°,30°,120°。 故三角形各个内角的度数为20°,80°,80°或30°,30°,120°。 【变式2】当高的位置关系不确定时,必须分类讨论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数。 【答案】 设AB=AC,BD⊥AC; (1)高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC的内部, 如右图,∵∠DBC=25°,∴∠C=90°-∠DB
8、C=90°-25°=65°, ∴∠ABC=∠C=65°,∠A=180°-2×65°=50°。 (2)当高与另一腰的夹角为250时, ①如右图,高在△ABC内部时, 当∠ABD=25°时,∠A=90°-∠ABD=65°,
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