数学模型经典例题

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1、一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。（15分）解：一、模型假设：1.椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。3.地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。（3分）二、建立模型：以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用表示椅子绕中心O旋转的角度，椅子的位置可以用确定：记为A、B两点与地面的距离之和记为C、D两点与地面的距离之和图5由假设3可得，、中至少有一个为0。由

2、假设2知、是的连续函数。（3分）问题归结为：已知和是的连续函数，对任意，，且设。证明存在，使得（3分）三、模型求解：令若，结论成立若，不妨设，椅子旋转后，AB与CD互换，即，则。（3分）由的连续性知也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在使。最后，因为，所以。（3分）二、给出7支队参加比赛的循环比赛赛程安排，要求各参赛队的每两场比赛之间的休息场次尽可能均衡，并列出表格说明。解：设表示7支参赛队。根据单循环赛的要求，得到7支队的比赛总场次为：（场），总轮次为7轮，且每一轮都有一支队轮空。具体如下：（2分）（4分）场队队次A1A2A3A4A5A6A7休息场次休息总场次A118181511

3、42+3+2+3+212A21521917133+3+3+3+315A38521220162+2+3+3+313A418212614103+3+3+3+214A51591263192+2+2+2+311A611172014373+3+2+2+212A741316101972+2+2+2+210（4分）从以上的表格可以看出各参赛队的每两场比赛之间的休息场次是比较均匀的。（2分）三、假设人口的增长服从这样的规律:时刻的人口为,时刻的单位时间的增量与成正比(其中的为最大人口容量),试建立模型求解并作出解的图形.图1解：由时刻的单位时间的增量与成正比，即有。（3分）令得到（2分）解得（3分）其图

4、象为图1（2分）四、学校共500名学生，其中118人住在A宿舍，167人住在B宿舍，215人住在C宿舍，学生们要组织一个由20人组成的委员会，使用下述方法分配各宿舍的委员数（1）按比例分配方法；（2）Q值法。如果委员人数由20人增至21人，各宿舍的委员人数将如何变化？解：比例加惯例法列表格如下：宿舍人数比例按比例分配最终名额按比例分配最终名额ABC11816721523.6％33.4％43.0％4.726.688.605784.9567.0149.03579总计500100％20.002021.0021由上表可知，依惯例法，20人时，三个宿舍分别为5人，7人，8人；21人时为5人，7人，

5、9人。（5分）值法分配：20人时先A宿舍4人，B宿舍6人，C宿舍8人，剩下2个名额根据值法：第19个名额有则应当把第19个名额分给A宿舍。（4分）第20个名额，其他值不变。有，则应当把第20个名额分给B宿舍。即三个宿舍分别为5人，7人，8人。（2分）21人时先A宿舍4人，B宿舍7人，C宿舍9人，剩下1个名额根据值法：有则应当把最后1个名额分给A宿舍。即三个宿舍分别为5人，7人，9人。（4分）五、长、吃水深度的船以速度航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力除依赖于船的诸变量以外，还与水的参数——密度、粘性系数，以及重力加速度有关，其中粘性系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度

6、（即）和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘性系数。用量刚分析方法给出阻力与这些物理量之间的关系。解：一、有关的物理量为船长，吃水深度，船速，阻力，水的密度，粘性系数和重力加速度。二、各物理量的量纲（2分）（2分）三、关系式由此得到量纲矩阵（4分）得到的4个基本解（4分）（*）由（*）式可得。3分)六、建立不允许缺货的存储模型：设生产能力无限，一次性的订货费为元，每天每吨货物的储存费为元，每天货物的需要量为r，确定最佳订货周期和每次订货量。解：由已知可得：不允许缺货的存储模型，一个周期内的总费用为＝订货费＋储存费(3分)时刻的储存量为图2从而一个周期内总的储存量为（3分）则总费用为（3分）

7、于是每天的平均费用是（3分）当且仅当，才能取到最小值，此时所以，最佳订货周期（3分）图:(4分)图4k-rr七、建立不允许缺货的生产销售模型。设生产速率为常数，销售速率为常数，。在每一个生产周期内，开始的一段（）一边生产一边销售，后来一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形。设每次生产的开工费为元，单位时间每件产品的储存费为元，试以每天费用最小为原则确定最佳周期。讨论和的情况。解：由右图可知：其中总的贮存量为（3分）则每一个周期内每天