江苏省姜堰市溱潼中学高三数学基础知识梳理 第5章 平面向量

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1、第五章平面向量基础知识梳理一、向量的概念：⒈有向线段：叫做有向线段.⒉向量：叫做向量.向量通常用有向线段或表示.⒊向量的模：向量的又叫做向量的模，记作.⒋两个重要概念：①零向量：叫做零向量.记作.注意：零向量没有规定它的方向，因此零向量的方向是任意的.②单位向量：叫做单位向量.注意：单位向量的方向与它所在向量的方向相同.⒌相等向量：叫做相等向量.向量与相等记作.⒍平行向量：叫做平行向量.向量与平行可记作.规定：与任一向量平行.即∥，∥，∥.⒎共线向量：叫做共线向量.注意：若与是共线向量，则与的方向

2、，它们所在的直线它们的夹角是.⒏相反向量：叫做相反向量.的相反向量是，−的相反向量是，的相反向量是.⒐两个非零向量和的夹角：.二、向量的运算：⒈向量的加法：⑴向量与的和的定义：⑵向量加法法则：①三角形法则（请画图于右）+（首尾相连）②平行四边形法则（请画图于右）+（起点相同）⑶向量加法运算律：①交换律：②结合律：⑷特例：=，=，=.⑸向量加法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=.⒉向量的减法：⑴向量与的差的定义：向量加上的相反向量叫做与的差，记作+(−)=−.OAB−是怎样的一个

3、向量?答：.⑵向量减法法则：设=，=，ABD则−=-=.（请画图于右）.重要结论：设，是两个不共线向量，则以AB、AD为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模.⑶特例：=，=，=.⑷向量减法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=.⒊实数与向量的积：⑴定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：①

4、λ

5、=；②当λ＞0时，λ的方向与的方向，当λ＜0时，λ的方向与的方向；当λ=0时，λ=.⑵运算律：①λ（μ）=；②（λ+μ）=；③λ（）=.⑶实数

6、与向量的积的坐标运算：⑷特例：若λ∈R，则λ=.⒋向量的数量积（或内积）：⑴定义：已知非零向量和，它们的夹角为θ，则=.⑶运算律：①=；②（λ）·==；③（+）·=.注意：向量的数量积没有结合律！特别地，=，或

7、

8、=.⑸向量的数量积的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=.⑹特例：=，=.三、重要定理、公式及方法：⒈平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.⒉向量模的计算公式：设=（x，y），则

9、

10、=.⒋

11、如何证明A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点共线？⒌两个向量平行、垂直的充要条件：大前提充要条件向量表示坐标表示平行=(x1，y1),=(x2，y2),且≠∥Û∥Û垂直=(x1，y1),=(x2，y2),且≠、≠⊥Û⊥Û注意：若不考虑上面的大前提，则⑴向量=(x1，y1),和=(x2，y2)平行的充要条件是x1y2-x2y1=0.⑵向量=(x1，y1),和=(x2，y2)垂直的必要不充分条件是x1x2+y1y2=0.⒎已知向量=(x1，y1),和=(x2，y2)，它们的夹角为θ

12、，则cosθ=.⒐线段的中点坐标公式：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点坐标是.⒑三角形的重心坐标公式：设△ABC三顶点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标是.