高考数学复习点拨 函数模型及其应用教材解读

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1、“函数模型及其应用”教材解读1.几类不同增长的函数模型：（1）一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0)；（2）反比例函数模型：f(x)=(k,b为常数,k≠0);(3)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(4)指数函数模型：f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);(5)对数函数模型：f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数，a>0，a≠1),(6)幂函数模型：f(x)=axn+b(m,n,b为常数，a≠0，n≠1).注：学习时应收集一些生活中普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对

2、数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用.2.几类函数模型增长差异：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=ax(a>1),y=㏒ax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但他们的增长速度不同，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而且y=㏒ax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0,当x>x0时，就有㏒ax

3、始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快，函数y=2x和y=x2的图像有两个交点（2，4）和（4，16）。在x∈（2，4）时，㏒2x<2x4时，总有㏒2x

4、实际上是完成从现实问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题的不断循环、不断完善的过程，如图所示：实际应用（现实原型）数学问题（数学模型）实际解答（理论预期）数学模型解答　　　　　　　　　　　　　数学化　　　　　　　　　　　　　　验证　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　实际解释数学化是指根据数学建模的目的和所具备的数据、图表、过程、现象等各种信息，将现实问题翻译转化为数学问题，并用数学语言将其准确地表示出来.求解是指利用已有的数学知识，选择适当的数学方法和数学解题

5、策略，求出数学模型的解答.解释是指把数学语言表述的解答翻译转化为现实问题，给出实际问题的解答.验证是指用现实问题的各种信息检验所得的实际问题的解答，以确认解答的正确性和数学模型的准确性.上图直观地显示了现实问题和数学模型之间的关系，即数学模型是将现实问题的信息加以数学化的产物，熟悉模型来源于现实、有超越于现实，它用精确的语言揭示了现实问题的内在特性。数学模型经过求解，得到数学形式的解答，再经过一次转化到现实问题，给出现实问题的决策、预报、分析等结果，最后这些结果还要经受实践的检验，完成由实践到理论再到实践这样一个不断循环、不断完善的过程，如果检验结果基本正确或者与实际情况

6、的拟合度非常高，就可以用来指导实践，反之则应重复上述过程重新建立模型或者修正模型.4.根据收集的数据直接去解决问题的过程：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复第三、四、五步；如符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解决实际问题。举例说明：根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国的人口数.时

7、间（年份）人口数（百万）18303.93018405.30918507.24118609.639187012.867188017.070189023.193190031.444时间(年份)191019201930194019501960197019801990人口数(百万）38.55950.15662.94975.99691.973105.712122.712131.670142.698分析：这是一个确定人口增长模型的问题。一个国家的人口数与众多因素有关。为使问题简化，我们作如下假设：（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；（2