高考数学复习点拨 深层探究---圆的直径式方程

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1、深层探究——圆的直径式方程题目：已知两点，求以为直径的圆的方程。分析1：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段的中点，半径为。解法1：设圆心，半径为，则由中点坐标公式得，再由两点间距离公式得，∴所求圆的方程为。分析2：从图形上动点的性质考虑，由直径上圆周角是直角可知，，这个性质用等式表示就是或，再转化为代数方程。解法2：设为圆上不同于的任意一点，∵直径上圆周角是直角，∴，（1）当的斜率都存在时，，∴，∴，即。①（2）当斜率有一个存在时，有，这时点的坐标是或，它们都满足方程①，又的两点坐标也满足方程①，∴所求圆的方程为。解

2、法3：设为圆上任意一点，则，∴，化简得，∴所求圆的方程为。结论：一般地，以、为直径两端点的圆的方程为，此式被称为圆的直径式方程，下面给出证明。证法1：设为圆上任意一点，当点与点不重合时，有。又，∴，即①当点与点重合时，有，显然满足①式；当点与点重合时，有，显然满足①式。综上可知，以、为直径两端点的圆的方程为。证法2：∵为圆之直径端点，∴圆心坐标为，圆的半径为，∴所求圆的方程为，即。又可化为。点评：证法1是利用求轨迹的一般方法来处理的；证法2易想，但较繁。