高考数学复习点拨 圆的方程---教材解读

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1、圆的方程——教材解读一、知识清点（一）圆的标准方程1．圆的标准方程，其中圆心为，半径为。（1）圆的标准方程是利用圆的定义与两点间的距离公式推导出来的；（2）由于方程的右端，故当右端小于0或等于0时不是圆的方程；（3）当圆心为圆点时，方程化为。2．确定圆方程的条件圆的标准方程中，有三个参数、、，只要求出、、，这时圆的方程就被确定，因此，确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。3．点与圆的位置关系设点到圆：的圆心的距离为，则。当，即当时，点在圆的外部；当，即当时，点在圆的内部；当，即当时，点在圆上。4．几种特殊位置的圆的方程条

2、件方程形式圆心在原点过原点圆心在轴上圆心在轴上圆心在轴上且过原点圆心在轴上且过原点圆与轴相切圆与轴相切圆与两坐标轴都相切（二）圆的一般方程1．当时，方程叫做圆的一般方程。（1）当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程表示一个点；（3）当时，方程不表示任何图形。2．圆的一般方程形式特点（1）的系数相同且不等于零；（和项的系数如果为不是1的非零常数，只需在方程两边除以这个数即可）（2）不含项。上述两个特点是二元二次方程表示圆必须具备的条件，利用这两个条件，可以判断哪些二元二次方程的曲线肯定不是圆。二、范例剖析例1求经过两点，且圆心在直线上的圆的方

3、程。分析：关键是求圆心和半径。解析：法1：设所求圆的标准方程为，则，解得。∴所求圆的方程为。法2：由已知条件知圆心为的中垂线与的交点，且，中点为，∴的中垂线的方程为，由，得，∴圆心为，，∴所求圆的方程为。评注：法1运用了待定系数法，法2运用了圆的几何性质，这两种方法在解析几何中经常使用，要注意选择恰当的方法。例2求经过点且与直线：相切于点的圆的方程。分析1：由于点，是所求圆上的点，从而得到了求圆的方程的两个条件；又由点为切点可知，圆心与点的连线与直线垂直，得到关于待定系数的三个方程，从而可解之。解法1：设所求圆的方程为，则圆心为，∴。∴，①又，②，③解①

4、、②、③可得，，。故所求圆的方程为。分析2：设所求圆心为，只要其坐标确定，所求圆的半径随之被确定，由平面几何知识知，弦的垂直平分线经过圆心，可建立关系解决之。解法2：设圆的圆心为，则，从而可得所在的直线方程为，即，①由，得的中点坐标为，又，∴的垂直平分线方程为,即，②由①②联立得，即圆心坐标为。∴所求圆的半径为，故所求圆的方程为。评注：求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于、、，或，，的方程组；（3）解出、、，或，，，代入标准方程或一般方程。