高考数学复习点拨 谈谈三角函数线的解题功能

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1、谈谈三角函数线的解题功能与单位圆有关的三角函数线是对任意角三角函数定义的一种补充.其中，正弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当α终边与y轴重合时，角α的正切线不存在.三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数性质．三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在．三角函数线可以用来求出满足形如f(α)>m或f(α)

2、．三角函数线可以用来求三角函数的定义域、求解三角方程、比较大小等．下面举例探讨三角函数线在解题中的应用.一.求三角函数的定义域图1x=图2例1.求下列函数的定义域：分析:首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围.解:（1）如图1，(2）如图2，点评:三角函数线的主要作用是解三角不等式，比较大小及求函数定义域.二.解三角不等式例2.已知

3、cosθ

4、≤

5、sinθ

6、，求θ的取值范围.　分析:我们可以在单位圆中作出正弦线和余弦线绝对值相等的角，再找出满足

7、cosθ

8、≤

9、sinθ

10、的θ角范围.　解：如图3所示，根据

11、cosθ

12、＝

13、sinθ

14、，即θ角正弦线的绝

15、对值和θ角余弦线的绝对值相等，则θ角的终边落在y=x和y=-x上，满足

16、cosθ

17、≤

18、sinθ

19、的θ角的终边落在阴影部分，　　　点评:本题主要考查根据正弦线和余弦线作出角θ的范围，再写出角θ的集合.三.比较大小例3.比较下列各组数的大小：　　　分析:我们可以考虑利用三角函数线，根据正弦线、余弦线、正切线来比较它们的大小.　解：（1）如下图所示，在单位圆中作出的余弦线OM2和OM1，　∵OM1

20、：

21、sinα

22、＋

23、cosα

24、≥1．分析：找出角α的正余弦线，数形结合易证．证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r(r=1）．所以

25、sinα

26、＋

27、cosα

28、＝1.当角α的终边落在一个象限时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有:

29、sinα

30、＋

31、cosα

32、=

33、MP

34、十

35、OM

36、＞1.综上有

37、sinα

38、＋

39、cosα

40、≥1．点评:本题利用三角函数定义,把三角问题转化为代数问题而获解决,这种方法,值得重视.对于sinθ+cosθ>1,也可以利用三角函数线来证明,此外该结论还可推广,若θ为任意角,则有

41、sinθ

42、+

43、cosθ

44、≥1.